刘维尔方程是非平衡态统计力学中,关于任意系统微状态概率密度函数的连续性方程:
这实际上在说,不仅作为概率密度,有归一化条件所规定的全域概率守恒
——其中
考虑一个由个粒子组成的系统,在统计力学中,考虑粒子数
恒定的情况已经足够一般。对于粒子数变化的开放系统,理论方法上总是通过扩大系统的划份,直至新的系统是封闭的(粒子数恒定),然后基于这个大系统的性质讨论当初的小系统作为子系统的性质。
在经典力学假定下,系统的状态总是可以由所有粒子的位置和动量所确定,也就是说,系统的状态总是对应着维实数空间
中的一个点
,其中我们简记
和
。
由于我们无法确定系统在任何时刻的微观状态,因此我们每一时刻,都为系统可取的每一个可能状态赋以概率。具体地,设是一个Borel可测空间,
表示系统在
时刻所有可取的微观状态的集合,
是定义在这个可测空间上的概率测度,
表示
时刻系统的微观状态在
内的概率,实际上
其中
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在经典力学中,给定某系统,它的运动方程总是把一个时刻的确定状态
映射为另一时刻
的唯一一个确定状态
,即我们可以提及相应的双射
。
若,则首先看到因为
必是连续的(经典力学运动),故
总把开集映射为开集,即
,故
是可测映射。其次,我们看到:
其中记号
后续由雷诺传输定理即可得到关于概率密度函数的刘维尔方程。