我的博士课题的科普介绍

我在这里介绍一下我的博士课题的背景。

自相似——大自然的艺术

Why is geometry often described as ‘cold’ and ‘dry’? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastline or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.

为什么几何学常被认为是“冷酷”、“枯燥”？其中一个原因就是它无法描述云彩、山峦、海岸、树木——我们美丽的大自然。云朵不是一些球形，山峦不是一些圆锥，岛屿不是一些圆形，树皮是不光滑的，闪电也不沿一条直线。

–B. Mandelbrot

Koch曲线

自相似性是指每一任意小的局部的形状都与整体相同，例如，Koch曲线就是一个自相似性的图形。在自然界中，许多自发生长的结构都具有自相似性。以下是一些自然界的自相似结构：

树叶

青苔

蜂蜜的结晶

树冠

这些自相似的形状，在数学上叫做分形。

分形——行走于维度之间

回到文章第一段提到的Koch曲线，它是怎样画出来的呢？首先画一段长度为1的线段，然后擦掉中间的一部分，改成一个等边三角形，其边长和它两边擦剩下的线段长度相等，得到四条线段。然后再对这四条线段做同样的事情，无止境地做下去……这就是Koch曲线。

Koch曲线的长度是多少呢？数学家量曲线长度的办法是逼近法，如下图所示：

我们先用逼近法量一个半径为1圆的周长。最粗略的近似是它的内接三角形的周长，然后是内接四边形、内接五边形……内接N边形。把这些N边形的周长画在坐标图中，可见当N增大时，N边形的周长越来越逼近一个确定值。当N无穷大时，这个N边形的面积就等于圆的周长：2π。

现在采用逼近法量一下Koch曲线的长度：

我们重走一次画Koch曲线的过程来逼近最后Koch曲线的长度。还记得Koch曲线怎么画吗？第一次画的是长度为1的线段，显然，Koch的长度是大于1的。第二次画的折线，长度是多少呢？中间的等边三角形边长是1/3，因此折线的总长是4/3。显然，Koch的长度比4/3要大。第三次，画的折线长度是16/9，即(4/3)²，读者可以自己算一下。这仍然小于Koch的长度。第四次，(4/3)³=64/27，还是不够长……第N次，长度是(4/3)^N。很显然，不管我们画的折线有多少折，Koch曲线总是比折线长度要大的。我们希望，当N为无穷大时，折线的长度能至少能逼近一个确定的值，而它就是Koch的长度。我们把折线长度随N不断增大的趋势画在坐标图上看看——很不幸，随着N不断增大，折线的长度不是逼近一个确定值，而是趋于无穷大。例如，当我们画到第128折线时（N=128），它的长度已经是(4/3)¹²⁸——1光年！而Koch曲线肯定要比这条折线大。由于Koch曲线是无限自相似下去的，因此它的长度是无穷大的。

您有本事在距离为1两点间画一条无穷长的曲线吗？只准用有限面积的纸！

也许您说：可以！我就把这张纸涂满！

是啊，如果一条曲线绕弯绕得厉害，它最后是能占个面积的。我们不是常说，点动成线，线动成面，面动成体吗？如果你把一张有限面积的纸图满，您画的线所占的面积就是这张纸的面积。就让我们从1维上升到2维试试，看看Koch曲线占多大的面积。

我们还是采用逼近法，第一次，先画这个Koch曲线的外接三角形。它的底是1，高是就是第一次折线画的等边三角形的高，为根号3除以6，因此面积是根号3除以12（记为A）。Koch曲线占的面积显然比这它的外接三角形要小。于是我们做第一次逼近，把Koch分成四个相似的部分，画四个外接三角形。它们的边长是是原来大三角形的1/3，所以面积是(1/9)A，四个加起来就是(4/9)A，Koch曲线占的面积还要比这个小。第二次逼近，画了16个三角形，它们的面积是原来大三角形的1/81，所以总的面积是(16/81)A，或(4/9)²A……第N次画的所有三角形的面积就应该是(4/9)^NA，但是Koch曲线占的面积还要比这个小。我们把第N次画的三角形总面积列在坐标图上，看看随着N的增大，面积会不会逼近于一个最小正值——很不幸，随着N的增大，面积刷的一下就跌到零了。第100次画的三角形面积只有原来的6×10^-36！由于Koch曲线是无限自相似下去的，因此它所占的面积为零。

如果请您用1段长度为无穷的线来涂满一块面积为0的形状，您能做到吗？

于是我们发现，Koch曲线是一个很奇怪的形状：当它是线，长度无穷；当它是面，面积为零。作为一维物体，Koch曲线太“密”了，作为二维对象，Koch曲线又太“疏”了。事实上，Koch曲线是高于1维，低于2维的。它的维数在1与2之间，是一个非整数！非整数维度，是分形的一个重要特点。

幂律——隐藏的异次元

Koch曲线的维度到底是多少呢？要说清楚这个问题，我们必须重新定义一下“维度”的概念。先来看看我们所熟悉的整数维的世界。

在一维世界里有一条线段，它的长度为1，我们用一个边长为1的正方形把它盖起来。如果用边长为0.5的正方形，要把这条线段盖起来就需要两个。如果用边长为1/3的正方形，就得用3个。依此类推，如果要用边长为r的正方形，就要用N个，才能把长度为1的线段盖住。很显然N=1/r，或者写成N=r^-1。

还算简单吧，现在我们看2维世界，一个边长为1的正方形，要用多少个边长为r的正方形来覆盖呢？答案是r^-2。对于正方体，是r^-3。

粗略地说，如果一个几何图形总是可以用N=r^-d个边长为r的正方形（体）来覆盖，那这个几何图形就是d维的。N=r^-d是一个幂函数。因此，这一规律叫做“幂律”（power law）

如果盖不严，或者有多余的空间怎么办？我们来看如何覆盖一个三角形，发现有的小正方形就要盖住一些多余的空间了。看一下一个边长为1的三角形要用多少个边长为r的正方形来覆盖：

N(1) = 1

N(1/2) = 3 = 1 + 2

N(1/4) = 10 = 1 + 2 + 3 + 4

N(1/8) = 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

……

N((1/2)ⁿ) = 1 + 2 + 3 + … + 2ⁿ

可见，N=(1+r^(-n))*r^(-n)/2。我们把lgN与lg(1/r)的关系作图，发现，随着r的减小，图形趋于一条与y=2x平行的直线，斜率是2。因此，虽然在一开始，d=-lgN/lgr不是一个定值，但是当r——也就是小正方形的边长——非常小的时候，d就等于2。在数学上的表达就是极限lim_r->0(-lgN/lgr)存在且等于2。

为什么当正方形边长较大的时候有所偏离呢？原因就是有些正方形覆盖了多余的面积。当正方形边长减小的时候，这部分多覆盖了的面积也就小了。可以想象，如果正方形的边长无穷小，这部分多覆盖的面积就没了，所有正方形正好覆盖了那个大三角形。

所以，准确的维度定议应该是，当r非常小时，如果需要N=r^-d个边长为r的正方形覆盖一个几何图案，那这个几何图案就是d维的。在数学上，我们可以用极限来定义，图形的维数d=lim_r->0(-lgN/lgr)。这就是计盒维数（box counting dimension），又叫做Minkowski-Bouligand维数。

现在我们可以拿正方形来覆盖一下Koch曲线，它是多少维的（d=?）。

可见，N=3*4^n。d=lim_r->0(-lgN/lgr)，所以我们拿lgN对lg(1/r)作图，得到的是一条直线，它的斜率是lg4/lg3，这个数大约等于1.26。因此Koch曲线是1.26维的。

下图是一个Gasket——另一个著名的分形。它的维数是lg3/lg2，约等于1.58。因此Gasket是1.58维的。

随机分形——偶然性背后的必然

这堆乱七八糟的正方形图案是不是自相似的？

如果试图在里面找到什么局部能跟整体相似，那必然是徒劳无功的。然而，如果我们换一个角度，统计一下不同大小的正方形数量，我们会发现：

一个边长为1/2的正方形（红）
3个边长为1/4的正方形（绿）
9个边长为1/8的正方形（深蓝）
27个边长为16/1的正方形（浅蓝）
……

可见，边长为r的正方形个数N之间呈幂律关系N=lg3*r^-(lg3/lg2)。同时，我们可以看到，取左下角四分之一的区域，正方形个数呈相同的统计规律，再取左下角八分之一的区域，相面的统计规律仍然成立。这就是说，这堆乍看起来乱七八糟的正方形图案，在统计分布上是自相似的，它是一个随机分形。它的任一局部的某项统计分布性质都与整体相似。它的维数是lg3/lg2，约等于1.58。

自然界中的很多看似无序的随机过程都属于随机分形。

细菌繁殖图案（养料稀少下）

人基因序列分布

揉皱的纸团中所含的空隙大小分布是自相似的

斑马的条纹的面积分布

聚合物——分形的专家

聚合物是由很多结构单元首尾相接而形成的长链分子。没有高分子，自然界不会存在生命。因为蛋白质是聚合物、遗传物质DNA和RNA是聚合物、植物的纤维素是聚合物。在我们的生活中，所有塑料、橡胶和纺织品都是聚合物，纸和木材来源于植物的纤维素，因此也是聚合物。其实聚合物分子本身就存在着很多随机分形的行为。

无规线团

生活中，很少见到一条很长很软的东西自己处于伸直的状态，它们总是以这样或那样的形式弯曲起来。准确地说，一根长线恰好呈伸直的样子，不是不可能，只是机率非常地低。不信，你可以拿一根毛线（要长一点的），让从一定高度自由地落到地上。不断重复，看看重复几次这根线团掉地上之后是直的。如果不考虑重力和摩擦力，一根软的长线呈伸直状态的机率就更小了，基本可以说如果你不去拉它的话，它几乎不可能是伸直的。聚合物分子都是长链分子，跟它的直径相比，它的长度可达几十到几百万倍。因此，聚合物分子链总是呈无规卷曲的状态，科学家形象地把它称作“无规线团”。

怎么描述无规线团呢？最常用的办法是把规线团看作盲人行走的轨迹。一个盲人自由地行走，每一步的方向都是随机选择，没有目的性的。但是他为了不走回头路，每一走一步都在地上做了个记号。此后凡遇到了记号，他就再随机换个方向。当然了，这样做记号他还是会走回头方向的，只是起码他不会踩在他之前踩过的地方罢了。他做的记号，实际上就成为了他行走的轨迹。不过，为了与聚合物分子链的真实情况相对应，这个盲人是在三维空间里自由飞行！

我们看一下盲人行走的轨迹，就会发现他总不会无限度的往远处走，走远了总会兜回来一点儿。我们关心盲人在一定步数之后能比原来走多远。由于盲人每次走的路线都不一样，所以我们等盲人每走一定的步数之后就把它纠回到原点重走，折腾他个上千次。把每次走出的轨迹的首末距离取个平均数，我们就会发现，这个平均距离R与盲人所走的步数n之间呈幂律关系R=k*n^0.6。在每条轨迹中任取一段相同步数的局部，来计算平均首末距离平均数与所取步数间的关系都是一样的，这说明，盲人行走的轨计在统计上具有自相似性。聚合物分子链的无规线团就是盲人行走的轨迹，它是一个随机分形。

扩散置限

现在我们为盲人设立一个固定目标，盲人在空间里自由行走时，只要碰到了那个目标，就可以原地不动了，否则就必须无止境地寻寻觅觅。现在，我们再找来好多盲人，一起放到空间里去乱跑，谁找到目标就站着不动，如果找不到目标，如果能找到已经站着不懂的盲人，那也可以就近站立了。这样的话，以目标为中心就会向外排着好多站着不懂的盲人。这些盲人排成的图案是怎样的呢？科学家们把这样形成的图案叫做扩散置限聚集（diffusion limited aggregation）。

对于这堆盲人排成的图案，我们关心人数的空间分布。在这个图案中随便划一个半径为r的区域，人数N与所划区域的半径r呈幂律关系N=k*r^2.5，无论在哪里划多大的区域，都有这样的规律，因此，扩散置限聚集的图案是自相似的。聚合物薄膜的结晶形貌就是一个扩散置限聚集图案。

渝渗——从“蛋花汤”到“蒸水蛋”

聚合物的第三个分形好戏是聚合物凝胶。聚合物凝胶在生活中到处可见——煮熟的鸡蛋白就是一个最好的例子。鸡蛋有很多种做法，除了把鸡蛋整个煮熟之外，还可以打散，加点水，蒸个葱花水蛋。水加多了，这水蛋就会变得稀稀拉拉的了，水太多的话甚于成不了形，最终变成蛋花汤了。

聚合物凝胶化基本上可以理解为蒸水蛋的过程，经过研究发现，在聚合物从溶液形成凝胶的过程中，聚合物先是局部形成聚集体（cluster）（图中红色部分），处于聚集体溶液（cluster sol）的状态，就好像一锅“蛋花汤”；这样的聚集体不断生长、合并；最终，当最大的聚集体接触到了容器的各个边界之后（图中绿色部分），体系就失去流动性，形成了凝胶，变成一碗“蒸水蛋”了。这时，体系里还有其他较小的聚集体存在，它们继续增长，陆续与最大的取集体合并，直到最后所有能反应的聚合物都耗尽为止。如果聚合物浓度太稀，聚集体还没充分生长，可反应的聚合物就耗尽了，那就没机会形成跨越反应器的统一网络了，反应就只停留在了聚集体溶液——也就是蛋花汤——的水平。因此，形成凝胶的关键是点是最大的聚集体增大到能连接容器边界的那一点，称为临界点。

这一“蛋花汤-蒸水蛋”的比方，科学上称为“渝渗”（percolation）模型。在渝渗模型里，我们关心的是聚集体的尺寸分布。如果我们按尺寸大小给聚集体分组，然后数一下每组的聚集体个数，就会发现尺寸为s的聚体集个数N的关系在临界点的时候呈幂律关系N=k*s^2.2。这说明，在“蛋花汤”变成“蒸水蛋”的临界点时，汤里蛋花尺寸的分布是自相似的，属于随机分形。为什么只有在临界点的时候才是分形呢？离开了临界点，蛋花尺寸的分布就偏离幂律了：在临界点之前，小蛋花数量太多了，而在临界点之后，大蛋团的数量太多了，因此恰好在临界点时，大大小小的蛋花分布刚好符合幂律关系。