非高斯系数符号为什么有个下标2？

在用粒子示踪（particle tracking)方法研究软物质的论文中经常用van Hove函数的非高斯性来表征体系的动态不均匀性1。往往还有一个“非高斯参数”来表征实验结果偏离高斯分布的程度，常常用\alpha_2来表示。它其实是由峰度（kurtosis）定义的，把实验分布的峰度拿高斯分布的峰度一相除，再减1，使得一个高斯分布的\alpha_2的值为0，非零的\alpha_2就标志着非高斯的分布。

(1)   \begin{equation*} \alpha_2=\frac{3\langle\Delta x^4\rangle}{5\langle\Delta x^2\rangle^2}-1 \end{equation*}

既然是这样的话，为什么不直接用一个简单的字母来表示，而是要用一个带有数字下标2的符号呢？难道还有\alpha_1、\alpha_3？我一直有这个疑问，今天我考究了一下。其实，使用\alpha_2来表示这个量，最早是出于A. Rahman的工作[1][2]。作者推导了液体的时间依赖相关函数的展开式。第一项当然是纯布朗运动的高斯项，第二项开始的高阶项都是非高斯项，其中各的系数可以用\alpha_n来表示，其通式是

(2)   \begin{equation*} \alpha_n=\frac{\langle r^{2n}\rangle}{C_n\langle r^2\rangle^n}-1 \end{equation*}

其中C_n=1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n+1\right)/3^n。因此\alpha_2恰好就是式(1)。或者说，通过展开得到的第二项系数，恰好就是一个跟峰度有关的量。

也就是说，\alpha_2其实是时间相关函数展开式的第2项，所以下标有个2。

自文献[2]后，\alpha_2很快被采用为“非高斯系数”用来描述液体性质，成为液体理论中的一个重要参数[3]。后来胶体物理的兴起，由于其理论基础基本上是液体物理，所以很自然就用了相似的讨论范式，使用\alpha_2这个符号。

再一次说明，要想做好胶体物理的研究，很应该应该从液体物理开始补习。

事实上，文献[1][2]是最早用计算机来计算液体的相关函数的工作。作者Aneesur Rahman是“分子动力学之父”。在有计算机之前，相关函数只有理想气体和格子晶体才能计算，液体的相关函数由于多体效应而难以计算。Aneesur Rahman在当时的CDC 3600超级计算机上计算了864个Lennard-Jones作用势的原子，模拟液氩。

References

  1. A. Rahman, "Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon", Physical Review, vol. 136, pp. A405-A411, 1964. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.136.A405
  2. B. Nijboer, and A. Rahman, "Time expansion of correlation functions and the theory of slow neutron scattering", Physica, vol. 32, pp. 415-432, 1966. http://dx.doi.org/10.1016/0031-8914(66)90068-1
  3. T. Tsang, "Non-Gaussian corrections to incoherent-scattering functions in liquids", Physical Review A, vol. 17, pp. 393-398, 1978. http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevA.17.393