在长期的学习过程中，我对一件事的确认不断地强化，那就是我跟Clifford Truesdell和Walter Noll有着相同的“品味”。

我赞同并欣赏已有物理理论的公理化努力。我认为这是一个有意义的研究领域。我希望有一天我们的本科教材能替换成这一领域的研究成果。事实上，我在流变学讲义中就尝试遵循一些已经建立的公理化引入。

我第一次看到Water Noll的neo-classical space-time构建是在下面这个地方：

W. Noll (1966), The Foundations of Mechanics, In: G. Grioli, C. Truesdell (eds), Non-linear Continuum Theories, Springer-Verlag

这书的印刷是用打字机的，有很花体notation是后面再用手写补上的。我不知道这些笔迹是不是Noll本人的。但从排版上可以说是非常不友好。我对时空构建的内容也完全陌生。但是不知道为什么，我一开始就感受到这个话题是很可能感兴趣的，鬼使神差地把它硬啃完了，果然感受到了无法用言语形容的美学享受。除了美的享受之外，时空构建的严密性，可以让后续的很多连续介质力学当下教材中容易让学生搞混的话题变得根本不可能搞混。

早期，我补习数学的唯一参考就是

S. Hassani (1999), Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations, Springer

我知道这本书，也是从早年流传的“Fang的书单”中知道的。这本书对Fang而言是新书，他只是说好像还可以。现在回看，这本书给了我两个影响：1）是这本书内容很全，且在一本书之内Notation和概念体系是统一的。让我在刚学数学就感受到了世上只有一个数学，而不是割裂看似无关的不同课程。后者可能是很多数学或物理专业的本科生在现在的教育体系中获得的印象。2）由于要做到1）这书不可避免地要如其副标题所言比较现代。例如所有构建都从集合出发，coordinate-free的线性代数，把张量引入为多线性形式等。之前一度有一点让我很诧异的是，为什么我看过一些书，在知乎上就产生了一个感觉就是我看得懂那些科班出身的人说什么，还好像能对一些超越本科的话题进行评论。如果不完全是错觉，那可能是因为我一开始就接触现代的数学文本。

后来我从Hassani的书后参考书目又直接或间接地知道了很多书和作者。例如Halmos和 Hoffman and Kunze的线性代数。后者成为了我第一本主要学习的书。Hoffman and Kunze其实是一本处处透着抽象代数的普通线性代数，coordinate-free的色彩更浓了。一个让我曾经困惑，却反而是极其具有启发性的特点是，作为一个线性代数，全书没有“cross product”这个词。翻遍全书只有tensor product没有tensor，进行tensor product的对象叫多线性形式。现在回想起来，我敢说很多力学课程的讲述者与许未必能解答学生在一切其他不同地方看到用“张量”二字称呼的对象是不是同一个东西，有什么联系。

贯穿我教学的一种倾向就是希望传达知识的统一性，一种关于世界的一元论。我很厌烦的一种看法就是，在这个课你就这样来，到了那个课了你又就那样来。前面学过的知识，好像有些道理，但在后面的课总是无法直接使用。一个人在学生时期要同时掌握很多割裂的课程知识，而它们的融汇贯通则要靠每一个人在日后职业生涯中的个人的、私下的、也许很民科的总结，或者更多情况下干脆是忘却或放弃。

coordinate-free其实是线性代数的其中一种品味。现在在知乎上流行着一种批评以矩阵代数为主的线性代数教材。由于这是国内教材流行的体例，这种批评又附带着包括对国内教学落后的批评。但事实上线性代数教材一直有两种传统。矩阵代数这种是十九世纪末二十世纪初唯一的主流。coordinate-free是比较现代的风格，是随着抽象代数的发展之后反作用于本科线性代数教学上的结果。而就算后者更现代，在后者出现后也还有人喜欢按前者的方式写书，流行全球，那例如那本“Linear Algebra Done Right”，还有C. Lay的那本。

当然，我本人喜欢抽象代数的品味。具体说的话，这可能来自Bourbaki。但我最初也是有教学上的实际动机的。我希望我的流变学课程是介绍基于张量的本构关系的，这里面一个最重要的思想就是标架不变性。整个33课时的流变学课，跟高分子材料性质相关的非线性粘弹性本构的罗列，我只花了一两课时，剩下的32课时一半是在打数学基础，剩下的就是连续介力学基础。因此我一定要介绍一套方便描述和理解标架不变性的数学语言。一个基于矩阵和坐标的数学基础必然是不利于这个教学目标的。因此我的讲义很少出现坐标和矩阵来定义或引入代数概念，总是逼迫读者基于集合与代数操作来理解抽象的代数对象。而且在讲微积分部分的时候，也延用了这种风格，虽然微积分和数学分析部分我是参考看另外的书的（微积分看WCT 1965，数分看Rudin），但是我花很多时间尝试把数学实质重新用代数的方式描述了。除此之外，在引入Noll的neo-Classical space-time之前我还介绍了欧几里得几何的一个比较现代的构建，同样仅使用用讲义内的概念和notation。关于物体及其质量的公理化引入，我又恶补了测度论，但这个知识我是依靠网上的讲义的。现在还没完全弄好的点是，由于严格来说物体实际上不是一个sigma代数，而是一个布尔代数；物体的质量是在布尔代数上的测度，而并不是一个勒贝格积分。因此在这种新基础上是否仍有绝对连续的类似概念和拉尼定理的类似定理还不可知。Truesdell在他自己的著作中没有解决这个问题，然后说读者要是直接当作sigma代数和勒贝格积分也没什么问题。目前我讲义就是活在这个模糊的基础上

Walter Noll也有类似的品味。他写过一本书：

Walter Noll (1987), Finite-Dimensional Spaces: Algebra, Geometry and Analysis. Vol. 1, Springer-Verlag

这本书是作者认为自己一生中最重要的著作。他描述说这本书的approach是“uncompromisingly coordinate-free and R^n-free when dealing with concepts”。考虑到这本书副标题包括了几何和分析，它恰好完成了我努力想要在讲义中做到的事。作者在自述中还说：

I have been accused of being  too “Bourbakistic”. I plead guilty. I believe the work of Bourbaki was the most important contribution to mathematics in the 20’th century. Bourbaki was not a single individual but a group, some of whose members I met personally. Bourbaki was started, in 1935, by some young French mathematicians who disliked the way mathematics was taught in France at the time. To quote from the book Bourbaki, a Secret Society of Mathematicians, by Maurice Mashaal: “Gradually, the group’s extensive reflections and lively discussions led to a new vision of mathematics, a modern way of teaching and even doing it.”

In 1973 my colleague and friend Juan Schaffer and I became involved in an undergraduste honors program at CMU entitled “Mathematical Studies”. We  disliked the way mathematics was taught at the time and proposed a new way to present mathematics as an integrated whole and to avoid its traditional division into separate and seemingly unrelated courses, My involvement in this program finally lead to this treatise. Therefore, it is the result of a task similar to that undertaken by Bourbaki, albeit on a limited scale.

Noll’s papers (cmu.edu)

在书中他又说：

About 25 years ago I started to write notes for a course for seniors and beginning graduate students at Carnegie Institute of Technology (renamed Carnegie-Mellon University in 1968). At first, the course was entitled “Tensor Analysis”. I soon realized that what usually passes for “Tensor Analysis” is really an undigested mishmash of linear and multilinear algebra, differential calculus in finite-dimensional spaces, manipulation of curvilinear coordinates, and differential geometry on manifolds, all treated with mindless formalisms and without real insight. As a result, I omitted the abstract differential geometry, which is too difficult to be treated properly at this level, and renamed the course “Multidimensional Algebra, Geometry, and Analysis”, and later “Finite-Dimensional Spaces”. The notes were rewritten several times.

Walter Noll (1987), Finite-Dimensional Spaces: Algebra, Geometry and Analysis. Vol. 1, Springer-Verlag

这简直就是复述了我自己在学习数学时的感觉。我曾经找过其他标题有tensor的不同的书，想要把数学和物理学中所有用tensor来称呼的东西都归纳一下，提取他们的共性，然后以恰当地、简洁而又有预见性的语言在课堂上告诉学生，到底什么是张量，且说完后它既解释了连续介质力学中出现的张量，又要能解释数学书、广义相对论等一切学生将来可能碰到被称为“张量”的东西。在这过程中我接触到叫“tensor analysis”的书或话题，都一律把张量明确地或暗中地定义为一个带有若干个上标和下标的数、上下标的各类操作，以及曲线坐标变换原理（Christ-Awful symbol）。一开始我觉得，对于这种完全不考虑与其他数学衔接的数学书（至少，它不从集合出发定义义自己的概念）很不“专业”。后来我明白为什么会充斥这种书。这个知识是供要学广义相对论的学生恶补数学与言用的。潜台词就是这一套数学操作你反正要用，学懂学对就是了，考试做题就能拿到分，一种“会算就行”逻辑下的数学书。也就是在很多类似这种体验之后，我竟然明白了一个本来应该是物理学专业的人才有体验的现状，那就是他们的教学体系并不尽如人意。Noll在上述引文中对当时教学的批评，现在还是一样。

Truesdell一开始对张量的理解也是坐标式的。Walter Noll在NFT第3版中说，他在博士学位论文中采用一种coordinate-free的风格，Truesdell不习惯，强迫Noll补上坐标变量表述。但是后来Truesdell接受了前一种风格，在一封给Noll的信（1958）写道：

“I must also admit that the direct notations you use are better suited to fundamental questions than are indicial notations. Your present mathematical style is smoother and simpler than that in your thesis.”

C. Truesdell, W. Noll (2004), The Non-Linear Field Theories of Mechanics, 3rd ed., Springer-Verlag

我也在很长一段时间很烦summation rule。凡是看到通篇summation rule的课本我都弃如敝屣。我认为summation rule对于经典力学是一个很坏的发明（也许在广义相对论中是不可替代的，但经典力学的简单性完全没必要）；它让方程的物理思想变得模糊甚至消失。物理学在理论中对数学的使用理应体现数学思想和物理思想的统一性，而不只是把数学当作语言和工具。在这个意义上summation rule是一种冗余产物，或者又是“会算就行”思想的产物。

“会算就行”，是工程教育的一种风气。“无需会算，却要真懂”的思想或品味，之所以会从我这儿产生，主要还是由于我是化学背景半路出家学习数学和物理的特殊情况。结果恰巧契合了上述的这些品味。工程课本会让你相信“会算才懂，懂就是会算，不会算就是不懂”，因为这些课本的教学目标是工程应用。不会算，懂也白懂。事实上，所谓“会算”，是一种肤浅的会算，所谓“不会算”，其实更会算。之所以不要后者，是因为工科教育的发展，学生多了，资质平庸了，教学时间有限了，各方面资源限制都不允许学生遍历抽代拓扑微分几何之后再“杀鸡用牛刀”地去解决一些以地球作参考系、对称均质的简单问题——明明记公式查表就能办到。

Truesdell在一本书理性热力学的书中也说过，要尊敬这些工程师们。他们正在做的事情甚至包括测量人造卫星表面的温度。工程师们测温度的情况，既不是平衡态，也不是准静态过程，但仍然依赖它完成了很多伟大的工作，然而在公理化的热力学中温度是平衡态概念。虽然从今天的角度看Truesdell提出的问题不是一个哲学问题，而是一个可以被研究的科学问题（远离平衡态体系有“等效温度”），但这些一般观点说明了，就算表面上现代社会已经承认“科学对技术的巨大作用”，从而在工程师教育体系中引入了大量现代科学基础，但实际上工科教育并没有正面地做好任何科学的教育。甚至由于这种教育的产物充斥在了学术圈，古典意义的科学研究受到的评价是非常负面的，尽管背后的哲学也是非常工具理性的。人们渐渐对作为纯精神构建的学术研究不再耐烦，对于“仅因为普适美而非要用牛刀杀鸡”不再理解。