关于离散测度没有密度的问题

对于若干个离散质点组成的物体，能否定义其质量密度？不可以。考虑以下简化的问题。

设 $x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$ ，且各不相等。对任一勒贝格可测集 $A\subset\mathbb{R}$ ，定义以下测度：

$\delta_i\left(A\right)=\left\{\begin{array}{cc} 1,&x_i\in A\\ 0,&x_i\notin A \end{array} \right.,\quad \mu\left(A\right)=\sum_i\delta_i\left(A\right),\quad\nu\left(A\right)=\sum_i p_i \delta_i\left(A\right)$

其中 $p_1,\cdots,p_n\in\mathbb{R}^+$ 。若是在讨论概率则还需 $\sum_i p_i=1$ 。虽然 $\nu$ 对 $\mu$ 绝对连续（可验），但由于 $\mu$ 不是 $\sigma$ -有限的，因此不适用于拉东-尼科迪姆定理以找到满足

$\nu\left(A\right)=\int_A \rho d\mu$

的“密度场” $\rho$ 。Truesdell & Toupin的CFT[1]只对连续物质定义了密度，离散质点只有质量，没有体积和密度。在Truesdell & Noll的NFT[2]中这一点更明确。

在讨论物体的质量时，在这样一个定义下，一个由无限个离散质点组成的物体质量将会是无穷大的。理论上我们接受这一设定[1]。相应地，在讨论概率的时候，如何讨论一个无穷离散集上的概率？可以从有限集的情况向无穷进行推广而不会产生概念上的危机，例如这一链接中的例子。

一个由若干个离散质点的组成的物体既然没有质量密度场，那么它的“连续性方程”是怎样的呢？如何讨论其“质量守恒”律呢？CFT在定义了离散质点的质量后没有再讨论这个问题，而NFT从定义物体质量的时候就明确不考虑离散质点的情况。我在这里给出的意见是：连续性方程只是在需要用连续介质力学时才需要首先列出的。对于离散质点组成的动力学系统，已经可以使用常规经典力学课本中介绍的牛顿力学或拉格朗日力学来刻划。如果非要讨论离散质点体系的连续性方程，那完全不妨引入Irving-Kirkwood-Noll procedure[3]，此时所有连续介质的公设仍然成立（see also [4]）。

现在我们转而考虑相空间流体由离散点组成时的相密度场问题。本文一开始已经否决了，对若干个离散点是无法定义密度场的，也没有资料讨论这种体系的“连续性方程”。因此，如果一个动力学系统在某种约束下，其所有可取的状态（all admissible states）在相空间是离散的状态点（多于1个），那将无法定义“密度”并讨论其刘维尔方程。问题是，这种情况是否可能？我的推断是不可能。以下是一些不太充份的理由。

如果一个动力学体系在某约束下可以取两个离散的状态点，那么既然它们都“可取”，就应当存在一个虚拟运动由其中一个状态达到另一个状态。但这将要求这个动力学体系要么速度无穷大（构型空间中的瞬移），要么加速度无穷大（动量突变）。能否说在经典力学中这两者都不被允许？如果速度（动量）无穷大，将导致无穷大的能量。只能说，如果认为整个经典宇宙是一个孤立体系的话那么整个宇宙的总能量是有限的常数（否则没有能量守恒的讨论），任于这个宇宙内的动力学体系不可以具有无穷大的能量。因此，也不可能有无穷大的加速度，因为这需要消耗无穷大的能量，经典宇宙不具备。但是经典力学对宇宙是否必须有这种孤立系统的规定，我不太清楚。而且如果真的一定要依赖这一规定，才能禁止加速度无穷大，那可能孤立宇宙就是经典力学的其中一个必要的基础。总之，我目前依赖于速度无穷大和加速度无穷大的绝对禁止。

为何两个“可取”状态间一定要存在至少一种连结它们的虚拟运动呢？为何不能通过设置初条件为任一个可取状态，然后体系之后就留在那个状态不动？——这样也不违反“两个状态都是该约束下可取的”，但之间没有任一种虚拟运动可以联系。我答案是，这种情况违反因果律或信息守恒。因为力学问题中的“初条件”，也必须是在同一动力学规律下可以从其他状态“达到”的终点，不能是“无因之果”。如果一个初条件状态，除了人为设定它在这一状态之外，无法从其他状态达到，那这相当于“上帝的第一推动”问题。而这一问题适用且只适用于一个动力学系统——整个宇宙。所以在任何具体动力学系统的问题中这是不允许的。

所以，动力学系统的相空间流体可以一般地避免“离散点没有密度”的问题。它总是“连续介质”（或说是单连通紧集）¹。

2022/10/4补充：在R. Tolman²教材中是这样引入的：

…, it is also to be noted for statistical purposes that we shall wish to use ensembles containing a large enough population of separate members so that the numbers of systems in such different states can be regarded as changing continuously as we pass from the states lying in one region of the phase space to those in another. Hence, for the purposes in view, it is evident that the condition of an ensemble at any time can be regarded as appropriately specified by the density $\rho$ with which representative points are distributed over the phase space.
…
The quantity $\rho$ is then to be understood as determining the number of systems $\delta N$ , which would be found at time $t$ to have coordinates and momenta lying in any selected infinitesimal range $\delta q_1\cdots\delta q_f\delta p_1\cdots\delta p_f$ , in accordance with the equation
$\delta N=\rho\left(q,p,t\right)\delta q_1\cdot\delta q_f\delta p_1\cdots\delta p_f$
We assume a large enough total population of systems so that $\rho$ and $\delta N$ can be regarded with sufficient approximation as changing continuously as we go from one region in the phase space to another.
By integrating over the whole of phase space, we can write
$N=\int\cdots\int\rho\left(q,p,t\right)dq_1\cdots dp_f$
as an expression for the total number of systems $N$ in the ensemble or phase points in the phase space.
p. 46~47

这段引入字面上是希望当 $N$ 足够大时，微、积分表达式能作为相空间密度的一种近似。但作者仍然坚持积分后的是“系统的总个数”（total number of systems），是可数的概念。这其实暗示了种用Dirac delta函数来表示离散点密度的方法。如果这么处理，上述的表示就不是一种 $N$ 很大时的近似，而是对任意 $N$ 的精确表示。

References

C. Truesdell, and R. Toupin, "The Classical Field Theories", Encyclopedia of Physics / Handbuch der Physik, pp. 226-858, 1960. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2
C. Truesdell, and W. Noll, "The Non-Linear Field Theories of Mechanics", The Non-Linear Field Theories of Mechanics, pp. 1-579, 2004. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-10388-3_1
P. Podio-Guidugli, "On the Mechanical Modeling of Matter, Molecular and Continuum", Journal of Elasticity, vol. 135, pp. 435-456, 2018. http://dx.doi.org/10.1007/s10659-018-9709-y
A. DiCarlo, . , P. Podio-Guidugli, and . , "From point particles to body points", Mathematics in Engineering, vol. 4, pp. 1-29, 2021. http://dx.doi.org/10.3934/mine.2022007

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