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Rheologist

C. Truesdell文章选段赏读：引子

给研究生上的聚合物流变学课结束了。这门课实质上只是给化类和材料背景的学生补习一些必要的数学概念和物理概念，帮助他们从概念上理解连续介质力学，理解论文中的本构关系。这对他们来说已经是一个很可观的学习任务。再加上我本人的讲授水平有限，如果有学生听不懂这门课，那也主要怪我。因此这门课的期末考察不以“考”为目的，而是选择了C. Truesdell的两段没有数学推导的的文字，让学生做个英译中，我酌情给分就可以了。

我从两篇文章中各选出一段。第一篇是来自他的文集An Idiot’s Fugitive Essays on Science: Methods, Criticism, Training, Circumstances的第7篇，标题是Statistical Mechanics and Continuum Mechanics (1973, 1979)，我选了开头的13个段落。第二篇是他的书A First Course in Rational Continuum Mechanics的第1章第1节的第2~5段。第一个选段。

考虑到学生实际可以使用到任何机器翻译工具来完成作业，我亲自测试过几个流行的免费机器翻译软件，发现C. Truesdell的文字有很多地方是机器翻译失效的。但对于学生来说又未必是无法理解的。因此这两个选段从期末考察的区分度和公平性来说是可以满足要求的。从学生交上来的作业情况看，确实能明显看出哪些是机翻的，哪些是亲自翻译的。花点儿时间细看的话甚至还能知道有的学生机翻完了之后自己还作过哪些改动。

但除开考试的因素，我还是了解到这两篇文字对学生来说还是挺难的，据说是比考研阅读难，而且有些长难句也比考研的英译中大题难。所以我想不如把这两段文字的解析写出来，既算是公示“参考答案”，也能给有兴趣回看这个期末作业的学生一个学习提高的机会。

当然，我本人既不是英语专业的也不是物理专业的，为人师表的责任下我可以保证80%基本正确，但肯定无法保证100%绝对正确。赏析的深度也仅限我自己学生时代接受过的一些英语考试培训的水平。

欧几里德空间的现代引入中的一个问题

\mathcal{E}是一个非空集合，里面的元素称为“点”。对于集合中的这些点，我们可以做《几何原本》说能做的所有事，从而得到一切《几何原本》能得到的结论。其中就包括允许我们谈及“由点a到点b的有向线段”，a,b\in\mathcal{E}。我们建立一个“从点a到点b的有向线段”到一个向量空间\mathcal{V}的映射\Phi:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}，且\Phi\left(x,x\right)\equiv\mathbf{0}\forall x\in\mathcal{E}，其中\mathbf{0}是\mathcal{V}的零向量。选定一个点o\in\mathcal{E}，又可记\Phi_o:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}，\Phi_o\left(x\right)\equiv\Phi\left(o,x\right)。在很多书中​(Berger 1987; Audin 2002)​，直接预先把\Phi_o规定为双射。但我在这里想先不作此规定。最多，由于我们希望\mathcal{E}中的每个原素都能在给定原点的前提下在\mathcal{V}中找到唯一对应（反之并不必亦然），从而规定\Phi_o为单射非满射。

我不确定离开某数集，光靠欧几里德几何的公设体系能否独立定义“线段的长度”、“两线段长度相等”、“一条线段的长度大于另一条线段的长度”。我似懂非懂地看了一下Wikipedia，兴许Tarski的公设体系实现了这件事。但不管如何，我们在“长度”问题上的重新定义，应该不会造成整个欧几里德几何的重新定义，因为“相等”、“大小”之类的逻辑，在数集里跟在欧几里德几何里是相同的。所以下一步我们定义，\mathcal{E}中有向线段（记为\overline{xy},x,y\in\mathcal{E}）的长度就是所对应的\mathcal{V}中向量的范：

    \[d:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R},\overline{ab}\equiv d\left(a,b\right)\equiv\left\|\Phi\left(a,b\right)\right\|\]

其中\left\|\mathbf{u}\right\|\equiv\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\mathbf{u}\in\mathcal{V}。

同样的道理，如果能认为欧几里德几何原本的“角度大小”以及其于这个概念的成立而证得的一切推论也是通过“相等”、“大小”等逻辑独立于数集而被规定的​*​，那么采用实数集来重新规定就不会改变原有逻辑基础，从而原有的几何推论也都成立（可用）。现在我们通过施瓦茨不等式来定义\mathcal{V}由三个不同的点所构成的角的度数。

在\mathcal{V}中，由内积运算的性质，有如下关系：

(1)   \begin{equation*}\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|+2\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\end{equation*}

由施瓦茨不等式

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\geq\left|\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\right|^2\\\Leftrightarrow&-1\leq\frac{\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)}{\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|}\leq1\end{align*}

由于\cos:\left[0,\pi\right]\rightarrow\left[-1,1\right]是双射，故可定义“两向量的夹角”：

    \[\theta:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\left[0,\pi\right],\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)\equiv\mathrm{arccos}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\left\|\mathbf{u}\right\|\left\|\mathbf{v}\right\|}\]

式(1)变为：

(2)   \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\\=&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\end{align*}

由内积定义可知\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=\theta\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V}。

在\mathcal{E}中，由余弦定理（《几何原本》命题12、13），

(3)   \begin{align*}&\overline{ox}^2+\overline{oy}^2=\overline{xy}^2+2\overline{ox}\times\overline{oy}\cos\angle xoy\nonumber\\\Leftrightarrow&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

其中\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}表示由点x、o、y构成的角。将式(2)代入式(3)得：

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\\=&\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

比较上式等号左右两边，可知以下两命题互为充要条件：

    \[\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)=\pm\Phi_x\left(y\right)\Leftrightarrow\cos\angle xoy=\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\]

我们不妨对映射\Phi增加规定：\Phi\left(o,y\right)-\Phi\left(o,x\right)=\Phi\left(x,y\right)=-\Phi\left(y,x\right),\forall o,x,y\in\mathcal{E}，则由上述等价关系我们同时获得了\mathcal{E}中的角\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}的大小与实数域\left[0,\pi\right]的映射：\measuredangle:\mathcal{E}^3\rightarrow\left[0,\pi\right],\measuredangle\left(xoy\right)\equiv\measuredangle xoy\equiv\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)。

至此，我做的事情是是：1）规定了\mathcal{E}中的有向线段与\mathcal{V}中的向量的映射（未规定是什么射）；2）利用\mathcal{V}的内积定义，规定了\mathcal{E}中线段的长度和角的大小与实数集的映射。在做这些规定的时候，我利用了已知的欧几里德几何推论（余弦定理）。这一规定性自然而然带来一些需要重新证明的命题。例如，原几何规定（Tarski）的“两线段相等”，则它们所对应的实数值相等；原几何定义的直角，在现有的规定里对应实数\pi/2等等。这里我未能完备地列出上述重新规定所引起的这类重新证明任务，但我相信这些命题是有限的，易证的。这为我们建立\mathcal{E}与\mathcal{V}的维数对应性打下了部分基础，即\mathcal{E}的“直角”与\mathcal{V}的“正交向量”对应上了。

尚缺少的概念对应是“过一点的直线”。也正是在这个问题里，我发现\Phi_o不得不如现有的书中那般进一步规定为双射。先看一个出发点比较好，但失败的例子——从\mathcal{E}的已知概念出发，通过已规定的（未必双射的）映射\Phi_o来找到\mathcal{V}中的对应。

由欧几里德几何易知，过点a、b的直线上的任一点c，a,b,c\in\mathcal{E},a\neq b，必满足以下四种情况之一：1）\measuredangle cab=0；2）\measuredangle cab=\pi；3）c=a；4）c=b。根据前文的规定，又有\overline{ac}=\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|、\overline{ab}=\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|。对于情况1）和2），由

    \[\cos\measuredangle cab =\frac{ \Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}=\pm 1\]

左右两边同除\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|有

    \[\frac{\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}=\pm\frac{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|}{\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}\equiv\alpha^\prime\]

其中情况1）取正号，情况2）取负号。另外，显然情况3）和4）\alpha^\prime等于0或无穷。我们可以重新整理四种情况，写成

    \begin{align*}&\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)=\alpha\left(\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)\right),\alpha\in\mathbb{R}\\\Leftarrow&\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right)\end{align*}

上式中，前者仅是后者的必要非充份条件。如果这一步是充要条件，从而得到最后的结论，那么我们无需规定\Phi_a是双射，就能把\mathcal{E}中过任意两点a,b的直线上的点的集合，映射为\mathcal{V}的子集\mathcal{L}_{ab}=\left\{\mathbf{c}|\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right),\alpha\in\mathbb{R}\}。事实上，易证这一子集是\mathcal{V}的子空间且维数是1。若有了此基础，就可进一步推演出\mathcal{E}的维数就是\mathcal{V}的维数，从头到尾无需说明\Phi_a是双射。另外，这也同时证明了另一个重要的结果，就是把\mathcal{E}中的直线与实数轴建立了对应，为建立笛卡尔坐标系奠定了基础。可惜，在上面我们只能得到必要非充份条件的关系，所以我们就无法拥有后面的这些优美叙述。

如果我们反过来，从\mathcal{V}出发去找\mathcal{E}中的直线，就免不了“给定任一\mathbb{u}\in\mathcal{V}，找出其在\mathcal{E}中对应的有向线段”的任务，这要求映射\Phi_a是可逆的，即为双射。虽然我看不到\Phi_a有什么理由不能是一个双射，但毕竟这是一项重大的“从\mathcal{V}到\mathcal{E}的反向规定”动作，这比前面的“长度”和“角度”的反向规定影响大多了，是全局性地规定了\mathcal{E}这整个空间。如此一来，\mathcal{E}不仅带着其原有的《几何原本》所有推论，又突然于一个向量空间等距同构。凭什么向量空间——一个意图完全与几何无关的数学概念——恰好重现了《几何原本》的欧几里德空间的一切性质呢？我找不到在这个层面上有什么万佛朝宗式的解释。如果没有这种解释，那么就只能认为，这一双射只是重新定义了一个空间\mathcal{E}，其几何性质只由定义它的那个内积空间\mathcal{V}来规定——这也是现代几何对“欧几里德空间”的定义，即完全抛弃了《几何原本》。既然如此，这一现代定义的“欧几里德空间”中，是否要用向量代数重新证明一切数学史上从《几何原本》证明过的几何定理？这个任务是一个庞大的任务，还是只需重现出欧几理德几何的有限几条公设即可？这个任务是否已经被完成了？尽管如此，我们难道真的不能relax掉“双射”这一规定性吗？

  1. ​*​
    例如，直角在《几何原本》里（定义10）就不是通过角度定义的。一个普通角的大小，又可以按照其正切的定义，从其所在的某直角三角形中对边长度与邻边长度之比来定义，从而回归到已解决了的线段长度大小的问题。

  1. Audin M (2002) Geometry. Springer
  2. Berger M (1987) Geometry I. Springer

到底要资助什么“重大科研仪器”的研制？

其中一种指南中的表述：

科学仪器设备是科学研究和技术创新的基石，是经济社会发展和国防安全的重要保障。长期以来，我国科学仪器严重依赖进口，已成为我国自主创新能力提升、创新型国家和小康社会建设的制约因素。

http://www.dicp.cas.cn/xwdt/zhxws/2017/201812/t20181202_5203897.html

从这段表述中，我们首先看到的关键短语就是“严重依赖进口”。这一短语本身就限定了我们讨论的范围是“已有商用形态的、但国产空白的仪器”。我觉得导向是比较清晰的。“从无到有的原创仪器形态研究”应该不是重点资助对象。已有商用形态的仪器的需要满足哪些指标参数也是已经比较固定的。所以这一背景下的资助项目，结题重点理应就是看产品是否完成全国产化（小到每个螺丝钉都是国内厂家生产的），或者规定的“国产化程度”（需先定义），以及产品的指标是否达到或超过国外代表性品牌产品。如果不是在仪器设计和实现方案有革命性的创新，那么无非还是采用国外已有产品的设计方案，采用满足这些方案需要的关键零部件。所以一台仪器的国产化无非是仪器各零部件的国产化和组装的国产化。不管是哪类仪器，这都是涉及广泛领域的制造水平的问题。集中由一个项目，由几个单位在有限年限中去组织“攻关”，是无法解决国家工业体系短板问题的。而且国外商用仪器的垄断还有市场因素，受国际贸易政策的限制。

另一种指南中的表述：

面向科学前沿和国家需求，以科学目标为导向，资助对促进科学发展、探索自然规律和开拓研究领域具有重要作用的原创性科研仪器与核心部件的研制，以提升我国的原始创新能力。

http://www.nsfc.gov.cn/nsfc/cen/xmzn/2019xmzn/14/index.html

根据这一表述，申请者首先要论证自己所提出的申请（某仪器或某部件）是“对促进科学发展、探索自然规律和开拓研究领域具有重要作用的原创新科研仪器与核心部件”。我们发现，这一表述特别强调“以科学目标为导向”、“开拓研究领域”。也就是说，这一项目并不关注所研制的仪器是否已有商用形态，更不关心是否“国产化”；它关心的是一对因果：既要看到某仪器，又要看到因为这个仪器的出现所造就的“科学目标的实现”、或者“新得研究领域得到开拓”。如何判断“科学目标是否实现”，尚且能有通行的标准，在项目实施年限结束即可当场判断；至于是否开拓了一个新的研究领域，则难以有判断标准。多大体量的研究，能成其为一个“新领域”？这本身就是科学计量学的研究课题，尚无通行标准。因此，可以预计，这一项目所收到的申请，多为先提出一个“科学问题”，论证解决这一“科学问题”的症结在于缺少相关仪器，然后又要提出一个仪器方案，并论证这一仪器方案本身的可行性，以及该仪器用于解决所提出的科学问题的可行性。至于项目的创新性，可能源自科学问题本身的创新性（从而仪器也就不可能不新），也可能是“老问题、新仪器”。所以，这种项目框架其实于普通的针对学科问题研究项目无异。也许项目结题要同时满足科学问题的解决和仪器的研制。然而，但凡是实验科学研究，创新本来就普遍来自于特定仪器的自行搭建。就算科学问题本身确属于“重大的”，也早有各学科的“重大”科研项目。仅因为有“仪器”的特色，而另设仍以“科学问题”为导向的重大仪器项目，难以说得通。

其实种种这类仪器项目，都是典型的“明明只是国家的一个部门，却妄图解决需要多部门联合才能解决得了的问题”所提出的项目。乍一看，觉得这个部门组织立项对准了国家的痛处，其实就是部级向更高层次邀功搞的政绩工程。看到国家层面有这个紧迫需求，就从本部门的范围内单独整理出一个新的项目指南来邀功。指南说得又大又好，但实际实施就主要通过该部门辖下的全国各单位搜罗典型，尤其是活动能力和资源丰富的相关学科的院士及其团队，商议出几个有望孵化成各方面都比较漂亮的结果的代表性的大项目。剩下的一些钱撒给其他自由申请人，并保证这部分别出什么乱子（例如造假腐败之类）就行了。

贸易战升级后，我国的劣势是什么，造成这些劣势的原因又是什么？是因为以前没有这种项目吗？是因为早有嗷嗷待哺的婴儿，就缺奶吗？