Category Archives: 我的研究笔记

在电子计算机之前的Fourier分析

如果我们要对一个周期信号进行Fourier级数分析，那么我们是假定该信号可以表示成

    \[f\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{\mathrm{i}2\pi n x/P}\]


其中

    \[c_n=\frac{1}{P}\int_0^P f\left(x\right)e^{-\mathrm{i} 2\pi n x/P}\mathrm{d}x\]

在今天，我们的实验信号基本都已经数字化，在电子计算机中一秒钟不到就做完了一个快速Fourier变换计算。但是在上世纪50~60年代，电子计算机还没发明之前，实验结果本身就可能是通过X-Y记录仪或双笔记录仪画在坐标纸上的。当时的人是怎样对这么一段墨迹进行Fourier级数分析的呢？我们可以看到，Fourier级数的各个系数c_n是一个积分。在那个年代，积分可以使用欧拉法数值求解。在此之前，需要将被积函数进行人工采样（sampling）离散化。因此这是一个很繁琐的任务。

小野木重治（Shigeharu Onogi）可能是日本最早对非线性粘弹性流体的正弦振荡测试结果作谐波分析的研究者。他当时估计就是这么做的[1][2]。

在美国，W. Philippoff很早就开发宽频范围的动态测试仪器。他在1966年发表的文章[3]中，用一个特别构建的可调节模拟计算器，去同时生成一个基频和3倍频的正弦信号，然后作加和。他通过调节这个模拟计算器，凑出与实验结果形状相似的Lissajous曲线，从而得知该曲线的3倍频谐波幅值和相位。

1960年代，恰好是模拟技术的颠峰时期。模拟计算电路能能做很多事情。由流变仪得出的波形信号，可通过相关器与给定的波形比较，输出的结果是与给定波形的内积。这样就可以通过设定参考波形信号，从原始信号中提取相应的分量，从而实现谐波分析。例如，Queen’s Collage机械工程系的Harris和Bogie[4][5]。

1967年，Brenner的林肯实验室报告给出了Cooley和Tukey的快速Fourier变换的Fortran程序。凯斯西储大学化学系的Dodge和Krieger在1971年就用上这个方法来进行谐波分析了[6]，正式进入了数字时代。

References

  1. S. Onogi, T. Masuda, and T. Matsumoto, "Non-Linear Behavior of Viscoelastic Materials. I. Disperse Systems of Polystyrene Solution and Carbon Black", Transactions of the Society of Rheology, vol. 14, pp. 275-294, 1970. http://dx.doi.org/10.1122/1.549190
  2. T. Matsumoto, Y. Segawa, Y. Warashina, and S. Onogi, "Nonlinear Behavior of Viscoelastic Materials. II. The Method of Analysis and Temperature Dependence of Nonlinear Viscoelastic Functions", Transactions of the Society of Rheology, vol. 17, pp. 47-62, 1973. http://dx.doi.org/10.1122/1.549319
  3. W. Philippoff, "Vibrational Measurements with Large Amplitudes", Transactions of the Society of Rheology, vol. 10, pp. 317-334, 1966. http://dx.doi.org/10.1122/1.549049
  4. J. Harris, and K. Bogie, "The experimental analysis of non-linear waves in mechanical systems", Rheologica Acta, vol. 6, pp. 3-5, 1967. http://dx.doi.org/10.1007/BF01968375
  5. O.E. Ibrahim, "A low-frequency high-speed correlator", Rheologica Acta, vol. 8, pp. 214-220, 1969. http://dx.doi.org/10.1007/BF01984661
  6. J.S. Dodge, and I.M. Krieger, "Oscillatory Shear of Nonlinear Fluids I. Preliminary Investigation", Transactions of the Society of Rheology, vol. 15, pp. 589-601, 1971. http://dx.doi.org/10.1122/1.549236

法国流变学家的民族自尊

C. Macosko等在J. Rheol.发表了一篇关于同轴圆筒粘度计的历史文章[1]。这立刻激起了法国流变学家J. Piau和M. Piau言辞激列的评论[2]。

从Piau & Piau的评论，几乎把所有Macosko等提到过的英国贡献者全部贬低了一遍，把所有Macosko等并没有贬低的法国贡献者全部赞赏了一遍。Piau & Piau的评论很长。我在读的时候，一方面觉得，这些细节事实的补充是有益的，但又十分不解，为什么非要用这么主观的带有情绪的措辞去写。直到我看到了Macosko等的回应[3]之后才明白，Piau & Piau生气的点在于其脆弱的民族自尊心被伤害到了，以至连粘度（viscosity）这个词，都要强加批判，只因它是英国人（Lord Kelvin）使用的。

References

  1. P. Dontula, C.W. Macosko, and L.E. Scriven, "Origins of concentric cylinders viscometry", Journal of Rheology, vol. 49, pp. 807-818, 2005. http://dx.doi.org/10.1122/1.1940640
  2. J. PIAU, and M. PIAU, "Letter to the Editor: Comment on “Origin of concentric cylinder viscometry” [J. Rheol. 49, 807–818 (2005)]. The relevance of the early days of viscosity, slip at the wall, and stability in concentric cylinder viscometry", Journal of Rheology, vol. 49, pp. 1539-1550, 2005. http://dx.doi.org/10.1122/1.2072087
  3. P. Dontula, C.W. Macosko, and L.E. Scriven, "Authors’ Response", Journal of Rheology, vol. 49, pp. 1551-1551, 2005. http://dx.doi.org/10.1122/1.2072107

时温等效原理的验证

时温等效原理（ the principle of time-temperature equivalence）和时温叠加（time-temperature superposition）是两回事。

时温等效原理声称，材料在高温、高频下的响应与其在低温、低频下的响应相同；高频响应可通过在低频高温获得。

如果材料符合时温等效原理，那么它将有时温叠加性。也就说，你在不同温度下，做同范围的频率扫描，其响应曲线通过平移可以连成一条主曲线。这个平移量表示了，到底各温度的响应对应于参考温度下的哪个频率范围的响应。

逻辑上，我们只有由时温等效原理的满足，推出材料具有时温可叠加性的结论这一判断，而并没有相反的判断。逻辑上完全可能，一个材料具有时温可叠加性，但所叠加的主曲线，并不是材料在参考温度下的宽频响应。真在这个参考温度下进行宽频扫描将得到一条与主曲线不同的曲线。也就是说，这个材料并不满足时温等效原理。因此，我们就算看到这个材料具有时温可叠加性，也不能说，那些高温或低温的响应曲线，就是这个材料在参考温度下的低频或高频的响应。

在今天，我们之所以几乎不怀疑这件事，是因为各经典的结构流变学模型都支持时温等效原理。但是，实验验证这一原理，逻辑上应该在不同温度下，做宽频扫描，验证窄频范围内的时温叠加主曲线，与实际宽频曲线完全一致。这样的实验报道是很少的。