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书单

长期以来我依赖libgen获取书的电子版，并在iPad Pro上记笔记学习。自从上孔夫子旧书网买了一些中文旧书之后，我同时也发出了很多英文旧书价格并不贵，陆陆续续地从上面买到了我特别喜欢的书的纸版，以作收藏。在这里分享这种满足感的同时，也算是列一个进阶学习的书单吧。

对我帮助最大的线性代数课本是Hoffman & Kunze的那本。我阅读的电子版是第二版的paper back。这本书几乎没有插图，是典型的以引理、定义和定理为骨架，掺入remark丰富意图说明的数学书。它适合自学的一点是证明齐全看得懂。通过看书上定理的证明方法我学到了一些技巧，使我能够独立证明或证伪一些我想出来的命题，这种能力对我按自己的思路来写讲义很有帮助。该书虽然标题是线性代数，但是在内容上是很好的抽象代数入门。

我在amazon还买到了Williamson, Crowell and Trotter的Calculus of Vector Functions第二片和第三版。我在找这方面的书的时候，希望能把向量看作有限维向量空间的元素，而不是R^n上的有序n元组。这本书是比较容易让我按前者理解来写讲义的。尽管它上面的例子都是R^n上的，但它的定义方式很容易移植到一般的有限维向量空间上。这本书的证明也很齐全。特别是给了出了反函数定理的一个普通水平读者看得懂的证明。该书倒是很不吝啬插图，足够地强调了这个话题的几何意义。而且书上的插图很适合在黑板上画出来，上课时可照着画。

物理学要从热力学开始。王竹溪的《热力学（第二版）》是我比较过好多课本之后（包括Callen），认为在foundation问题上处理得比较平衡的一本。须知这是热力学课本的最高级指标，在这件事上令人满意的书，在其余问题上就无庸质疑了，所以上面的评论相当于说王竹溪的《热力学（第二版）》是完美的。

这本书比较值得收藏的是80年代上海市印刷三厂印装的绿色硬皮的版本，此时全书还是使用繁体字。书中的数学公式符号风格十分雅致，排版也十分小心（虽然有很多手工痕迹）。书上的插图线宽和字号都很平衡，全书的插图风格一致（说明全是作者自己在文字撰写的过程中按需要绘制，而不是直接截取其他文献的图）。

王竹溪的书已经涉及到了不可逆热力学。但这个话题的经典是de Groot & Mazur (1961)的那本。这本书是后来的课本几乎都引用的“第一本书”。但是我对这个话题的学习主要都是看几本其他的书，包括Gurtin, Fried & Anand (2010)的那本连续介质力学与热力学。de Groot & Mazur这本我其实没有从头到尾认真看完过，只能在下一个系统整理这个话题的机会去做这件事了。

Tolman的统计力学也是经典的“第一本书”。它一齐把平衡态与非平衡态统计力学的观念都一次性建立了。这也是比较符合历史认识顺序的。但是这本书也是我最近才拿来看的。我本人的统计力学基础学习是靠 McQuarrie的课本。Tolman的书真的是比较老了（1950）。我手头上的这本的封皮材料老化变脆，需要修补。

书脊
封面
封二

非平衡统计力学的书常常会夹一些随机过程的理论。随机过程有很多好书，比如很多人所推荐的Ross的那本。但是我觉得比较亲切，适合教学参考的是Parzen这本，因此我也在孔夫子上搞一了一本实物。

封面

我还搞到了Flory的书，这本书就不必多说了。

封面
渗透压计照片
链统计经典页面
格式模型经典页面

Flory的approach是偏向平衡态统计热力学的。动力学方面的专著可以看Doi & Edwards那本书。在前面介绍的数学基础和统计力学基础之上，到此基本可以完成比较近世的高分子物理理论的掌握。我觉得高分子系的课程也应该如此改革。

欧几里德空间的现代引入中的一个问题

$\mathcal{E}$ 是一个非空集合，里面的元素称为“点”。对于集合中的这些点，我们可以做《几何原本》说能做的所有事，从而得到一切《几何原本》能得到的结论。其中就包括允许我们谈及“由点 $a$ 到点 $b$ 的有向线段”， $a,b\in\mathcal{E}$ 。我们建立一个“从点 $a$ 到点 $b$ 的有向线段”到一个向量空间 $\mathcal{V}$ 的映射 $\Phi:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}$ ，且 $\Phi\left(x,x\right)\equiv\mathbf{0}\forall x\in\mathcal{E}$ ，其中 $\mathbf{0}$ 是 $\mathcal{V}$ 的零向量。选定一个点 $o\in\mathcal{E}$ ，又可记 $\Phi_o:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}$ ， $\Phi_o\left(x\right)\equiv\Phi\left(o,x\right)$ 。在很多书中(Berger 1987; Audin 2002)，直接预先把 $\Phi_o$ 规定为双射。但我在这里想先不作此规定。最多，由于我们希望 $\mathcal{E}$ 中的每个原素都能在给定原点的前提下在 $\mathcal{V}$ 中找到唯一对应（反之并不必亦然），从而规定 $\Phi_o$ 为单射非满射。

我不确定离开某数集，光靠欧几里德几何的公设体系能否独立定义“线段的长度”、“两线段长度相等”、“一条线段的长度大于另一条线段的长度”。我似懂非懂地看了一下Wikipedia，兴许Tarski的公设体系实现了这件事。但不管如何，我们在“长度”问题上的重新定义，应该不会造成整个欧几里德几何的重新定义，因为“相等”、“大小”之类的逻辑，在数集里跟在欧几里德几何里是相同的。所以下一步我们定义， $\mathcal{E}$ 中有向线段（记为 $\overline{xy},x,y\in\mathcal{E}$ ）的长度就是所对应的 $\mathcal{V}$ 中向量的范：

$d:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R},\overline{ab}\equiv d\left(a,b\right)\equiv\left\|\Phi\left(a,b\right)\right\|$

其中 $\left\|\mathbf{u}\right\|\equiv\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\mathbf{u}\in\mathcal{V}$ 。

同样的道理，如果能认为欧几里德几何原本的“角度大小”以及其于这个概念的成立而证得的一切推论也是通过“相等”、“大小”等逻辑独立于数集而被规定的^*，那么采用实数集来重新规定就不会改变原有逻辑基础，从而原有的几何推论也都成立（可用）。现在我们通过施瓦茨不等式来定义 $\mathcal{V}$ 由三个不同的点所构成的角的度数。

在 $\mathcal{V}$ 中，由内积运算的性质，有如下关系：

(1) $\begin{equation*}\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|+2\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\end{equation*}$

由施瓦茨不等式

$\begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\geq\left|\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\right|^2\\\Leftrightarrow&-1\leq\frac{\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)}{\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|}\leq1\end{align*}$

由于 $\cos:\left[0,\pi\right]\rightarrow\left[-1,1\right]$ 是双射，故可定义“两向量的夹角”：

$\theta:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\left[0,\pi\right],\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)\equiv\mathrm{arccos}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\left\|\mathbf{u}\right\|\left\|\mathbf{v}\right\|}$

式(1)变为：

(2) $\begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\\=&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\end{align*}$

由内积定义可知 $\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=\theta\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V}$ 。

在 $\mathcal{E}$ 中，由余弦定理（《几何原本》命题12、13），

(3) $\begin{align*}&\overline{ox}^2+\overline{oy}^2=\overline{xy}^2+2\overline{ox}\times\overline{oy}\cos\angle xoy\nonumber\\\Leftrightarrow&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}$

其中 $\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}$ 表示由点 $x$ 、 $o$ 、 $y$ 构成的角。将式(2)代入式(3)得：

$\begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\\=&\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}$

比较上式等号左右两边，可知以下两命题互为充要条件：

$\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)=\pm\Phi_x\left(y\right)\Leftrightarrow\cos\angle xoy=\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)$

我们不妨对映射 $\Phi$ 增加规定： $\Phi\left(o,y\right)-\Phi\left(o,x\right)=\Phi\left(x,y\right)=-\Phi\left(y,x\right),\forall o,x,y\in\mathcal{E}$ ，则由上述等价关系我们同时获得了 $\mathcal{E}$ 中的角 $\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}$ 的大小与实数域 $\left[0,\pi\right]$ 的映射： $\measuredangle:\mathcal{E}^3\rightarrow\left[0,\pi\right],\measuredangle\left(xoy\right)\equiv\measuredangle xoy\equiv\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)$ 。

至此，我做的事情是是：1）规定了 $\mathcal{E}$ 中的有向线段与 $\mathcal{V}$ 中的向量的映射（未规定是什么射）；2）利用 $\mathcal{V}$ 的内积定义，规定了 $\mathcal{E}$ 中线段的长度和角的大小与实数集的映射。在做这些规定的时候，我利用了已知的欧几里德几何推论（余弦定理）。这一规定性自然而然带来一些需要重新证明的命题。例如，原几何规定（Tarski）的“两线段相等”，则它们所对应的实数值相等；原几何定义的直角，在现有的规定里对应实数 $\pi/2$ 等等。这里我未能完备地列出上述重新规定所引起的这类重新证明任务，但我相信这些命题是有限的，易证的。这为我们建立 $\mathcal{E}$ 与 $\mathcal{V}$ 的维数对应性打下了部分基础，即 $\mathcal{E}$ 的“直角”与 $\mathcal{V}$ 的“正交向量”对应上了。

尚缺少的概念对应是“过一点的直线”。也正是在这个问题里，我发现 $\Phi_o$ 不得不如现有的书中那般进一步规定为双射。先看一个出发点比较好，但失败的例子——从 $\mathcal{E}$ 的已知概念出发，通过已规定的（未必双射的）映射 $\Phi_o$ 来找到 $\mathcal{V}$ 中的对应。

由欧几里德几何易知，过点 $a$ 、 $b$ 的直线上的任一点 $c$ ， $a,b,c\in\mathcal{E},a\neq b$ ，必满足以下四种情况之一：1） $\measuredangle cab=0$ ；2） $\measuredangle cab=\pi$ ；3） $c=a$ ；4） $c=b$ 。根据前文的规定，又有 $\overline{ac}=\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|$ 、 $\overline{ab}=\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|$ 。对于情况1）和2），由

$\cos\measuredangle cab =\frac{ \Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}=\pm 1$

左右两边同除 $\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|$ 有

$\frac{\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}=\pm\frac{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|}{\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}\equiv\alpha^\prime$

其中情况1）取正号，情况2）取负号。另外，显然情况3）和4） $\alpha^\prime$ 等于0或无穷。我们可以重新整理四种情况，写成

$\begin{align*}&\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)=\alpha\left(\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)\right),\alpha\in\mathbb{R}\\\Leftarrow&\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right)\end{align*}$

上式中，前者仅是后者的必要非充份条件。如果这一步是充要条件，从而得到最后的结论，那么我们无需规定 $\Phi_a$ 是双射，就能把 $\mathcal{E}$ 中过任意两点 $a,b$ 的直线上的点的集合，映射为 $\mathcal{V}$ 的子集 $\mathcal{L}_{ab}=\left\{\mathbf{c}|\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right),\alpha\in\mathbb{R}\}$ 。事实上，易证这一子集是 $\mathcal{V}$ 的子空间且维数是1。若有了此基础，就可进一步推演出 $\mathcal{E}$ 的维数就是 $\mathcal{V}$ 的维数，从头到尾无需说明 $\Phi_a$ 是双射。另外，这也同时证明了另一个重要的结果，就是把 $\mathcal{E}$ 中的直线与实数轴建立了对应，为建立笛卡尔坐标系奠定了基础。可惜，在上面我们只能得到必要非充份条件的关系，所以我们就无法拥有后面的这些优美叙述。

如果我们反过来，从 $\mathcal{V}$ 出发去找 $\mathcal{E}$ 中的直线，就免不了“给定任一 $\mathbb{u}\in\mathcal{V}$ ，找出其在 $\mathcal{E}$ 中对应的有向线段”的任务，这要求映射 $\Phi_a$ 是可逆的，即为双射。虽然我看不到 $\Phi_a$ 有什么理由不能是一个双射，但毕竟这是一项重大的“从 $\mathcal{V}$ 到 $\mathcal{E}$ 的反向规定”动作，这比前面的“长度”和“角度”的反向规定影响大多了，是全局性地规定了 $\mathcal{E}$ 这整个空间。如此一来， $\mathcal{E}$ 不仅带着其原有的《几何原本》所有推论，又突然于一个向量空间等距同构。凭什么向量空间——一个意图完全与几何无关的数学概念——恰好重现了《几何原本》的欧几里德空间的一切性质呢？我找不到在这个层面上有什么万佛朝宗式的解释。如果没有这种解释，那么就只能认为，这一双射只是重新定义了一个空间 $\mathcal{E}$ ，其几何性质只由定义它的那个内积空间 $\mathcal{V}$ 来规定——这也是现代几何对“欧几里德空间”的定义，即完全抛弃了《几何原本》。既然如此，这一现代定义的“欧几里德空间”中，是否要用向量代数重新证明一切数学史上从《几何原本》证明过的几何定理？这个任务是一个庞大的任务，还是只需重现出欧几理德几何的有限几条公设即可？这个任务是否已经被完成了？尽管如此，我们难道真的不能relax掉“双射”这一规定性吗？

^*
例如，直角在《几何原本》里（定义10）就不是通过角度定义的。一个普通角的大小，又可以按照其正切的定义，从其所在的某直角三角形中对边长度与邻边长度之比来定义，从而回归到已解决了的线段长度大小的问题。

Audin M (2002) Geometry. Springer
Berger M (1987) Geometry I. Springer

Plastic Number

黄金比例数大家都知道，是一个无理数$\phi=1.618\cdots$。许多理论论证大自然很多自发或最优的结果遵循这个比例，美术、建筑和音乐上这个比例也产生了神奇的和谐。利用这个比例可作出黄金螺线。

上图是三种形状十分接近黄金螺线的螺线。

最近在网上看到另一个类似的无理数，叫“塑料数”（plastic number）。我觉得比较有趣的是，把音符按按似黄金比例的Fibonacci数列排列，发现是经常被使用的旋律1,2,3,5，这个梗已经广为人所知。那么用plastic number作比例的Padovan数列得出的旋律是怎么样的呢？这篇文章探讨了这个问题。

跟Fibonacci数列不同，Padovan数列得到的螺线，是会分叉的，于是能够形成十分美丽的花纹。这是由一个热爱螺线的数学家发现的。英国《卫报》报道过他的发现。文末他说，他还考察过其他特殊比例数，但没有得到像plastic number这样美丽的图案。

源：http://community.wolfram.com/groups/-/m/t/430342

这种花纹乍一看会感觉像某棵植物。植物中出线螺线的情况确实很多，还有个术语叫“叶序”（Phyllotaxis）。一定叶序的形成是有机制的。一定机制产生螺旋的情况在大自然中很常见，这篇博客还有更多的例子。

在Wikipedia上能够找到很多种数学上的螺线。

现在，由plastic number产生的螺线，以发现他的数学家Edmund Harriss命名为Harris spiral，这个spiral是分叉的。按照plastic number还能构建三维的螺线。

M	T	W	T	F	S	S
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万物皆流

Anything goes

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