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在电子计算机之前的Fourier分析

如果我们要对一个周期信号进行Fourier级数分析，那么我们是假定该信号可以表示成

    \[f\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{\mathrm{i}2\pi n x/P}\]


其中

    \[c_n=\frac{1}{P}\int_0^P f\left(x\right)e^{-\mathrm{i} 2\pi n x/P}\mathrm{d}x\]

在今天，我们的实验信号基本都已经数字化，在电子计算机中一秒钟不到就做完了一个快速Fourier变换计算。但是在上世纪50~60年代，电子计算机还没发明之前，实验结果本身就可能是通过X-Y记录仪或双笔记录仪画在坐标纸上的。当时的人是怎样对这么一段墨迹进行Fourier级数分析的呢？我们可以看到，Fourier级数的各个系数c_n是一个积分。在那个年代，积分可以使用欧拉法数值求解。在此之前，需要将被积函数进行人工采样（sampling）离散化。因此这是一个很繁琐的任务。

小野木重治（Shigeharu Onogi）可能是日本最早对非线性粘弹性流体的正弦振荡测试结果作谐波分析的研究者。他当时估计就是这么做的[1][2]。

在美国，W. Philippoff很早就开发宽频范围的动态测试仪器。他在1966年发表的文章[3]中，用一个特别构建的可调节模拟计算器，去同时生成一个基频和3倍频的正弦信号，然后作加和。他通过调节这个模拟计算器，凑出与实验结果形状相似的Lissajous曲线，从而得知该曲线的3倍频谐波幅值和相位。

1960年代，恰好是模拟技术的颠峰时期。模拟计算电路能能做很多事情。由流变仪得出的波形信号，可通过相关器与给定的波形比较，输出的结果是与给定波形的内积。这样就可以通过设定参考波形信号，从原始信号中提取相应的分量，从而实现谐波分析。例如，Queen’s Collage机械工程系的Harris和Bogie[4][5]。

1967年，Brenner的林肯实验室报告给出了Cooley和Tukey的快速Fourier变换的Fortran程序。凯斯西储大学化学系的Dodge和Krieger在1971年就用上这个方法来进行谐波分析了[6]，正式进入了数字时代。

References

  1. S. Onogi, T. Masuda, and T. Matsumoto, "Non-Linear Behavior of Viscoelastic Materials. I. Disperse Systems of Polystyrene Solution and Carbon Black", Transactions of the Society of Rheology, vol. 14, pp. 275-294, 1970. http://dx.doi.org/10.1122/1.549190
  2. T. Matsumoto, Y. Segawa, Y. Warashina, and S. Onogi, "Nonlinear Behavior of Viscoelastic Materials. II. The Method of Analysis and Temperature Dependence of Nonlinear Viscoelastic Functions", Transactions of the Society of Rheology, vol. 17, pp. 47-62, 1973. http://dx.doi.org/10.1122/1.549319
  3. W. Philippoff, "Vibrational Measurements with Large Amplitudes", Transactions of the Society of Rheology, vol. 10, pp. 317-334, 1966. http://dx.doi.org/10.1122/1.549049
  4. J. Harris, and K. Bogie, "The experimental analysis of non-linear waves in mechanical systems", Rheologica Acta, vol. 6, pp. 3-5, 1967. http://dx.doi.org/10.1007/BF01968375
  5. O.E. Ibrahim, "A low-frequency high-speed correlator", Rheologica Acta, vol. 8, pp. 214-220, 1969. http://dx.doi.org/10.1007/BF01984661
  6. J.S. Dodge, and I.M. Krieger, "Oscillatory Shear of Nonlinear Fluids I. Preliminary Investigation", Transactions of the Society of Rheology, vol. 15, pp. 589-601, 1971. http://dx.doi.org/10.1122/1.549236

FrieslandCampina研究论文引用了我

我总结某本科生实验凑出来的一篇论文，被FrieslandCampina的一篇论文引用了，co-author还有G. McKinley。

我写论文的时候，引用他人工作总是为了如何一句话总结纠结很久。于是，看别人怎么一句话总结自己都觉得是拼凑的工作是很有趣的。

FrieslandCampina是个荷兰乳业公司我之前都没听说过，查了一下国内叫“荷兰皇家菲仕兰”。

为什么做LAOS？

本文来自我最近对一个邮件的回复，觉得有普遍性。

用LAOS研究复杂流体的研究很多，但有目的地使用它的很少。LAOS本身的新奇潮流现在也过了。所以我们必须问，LAOS结果意味着什么？为什么要看LAOS结果？

首先LAOS测试（相比于SAOS）本身就是从非线性粘弹性的出现来划定的，也就是说做LAOS就是去看非线性粘弹性。所以原问题就转化为我们为什么要看非线性粘弹性。

如果说到非线性粘弹性，那研究方法就不止LAOS。阶跃应变、阶跃应变速率、拉伸流变，都是典型的非线性粘弹性测试，所以又要问，看非线性粘弹性，为什么要特别看LAOS？

我个人的观点是，以上问题都没有必然答案。很多时候其实没什么理由去看它的非线性粘弹性；很多时候要看非线性粘弹性也没什么理由特别地去看LAOS。关键要看你要研究什么科学问题，不是为测流变而测流变。

我从建设性的角度，给出几个可能特别要用LAOS研究的理由，看你的研究课题是否采用，但第一个基本问题（为什么要看非线性粘弹性）仍然需要确定。

  1. LAOS相比于其他非线性粘弹性的方法的特点是使用了振荡模式，这除了在数学上便于引入Fourier变换等工程数学工具之外，对于流变学主要是它实现了Deborah数和Weissenberg数分离，即应变的大小和应变的速率分别控制，而不像其他连续形变方式这两者是耦合在一起的。如果你想做LAOS是因为这一特点，那意味着你想看分别地看样品的粘弹性是否专门依赖于形变大小、还是专门依赖于形变速率，还是兼而有之。这也是非线性粘弹性本构模型关心的话题。非线性粘粘弹性本构模型的设计重点之一就是其记忆函数是依赖 应变张量、还是应变率张量，还是二者兼有。
  2. LAOS使用振荡模式又实现了区分循环内（intra-cycle）和循环间（inter-cycle）力学性质。做连续形变是看不到这两类性质的。这两类性质能进一步区分不同的样品。例如，连续形变下同样是应变硬化的材料，在LAOS下虽然都表现为循环内应化（intra-cycle strain hardening），但有的表现为循环间硬化（inter-cycle strain hardening），有的表现为循环间软化（~ softening），不做LAOS区分不了这两类行为。如果你想做LAOS是因为这一特点，那意味着你设想循环内/间行为能够说明你要研究的具体问题（如分子运动等）。

至于以往流行的一些LAOS相关参数如高次谐波、GM、GL等，只是早期LAOS建立方法学阶段提出的尝试性参数，其物理意义尚待理论建立，所以不适合应用于具体问题的研究（但却是跟风报道最多的）。所以，如果LAOS的以上两个特点对你没什么用，你就不必要做LAOS。

抛开“你要研究什么”这个问题，就讨论你要做某种复杂流体的非线性粘弹性，我也建议不要做剪切（拖曳流），因为这些体系也许弹性效应非常明显，剪切稍微剧烈法向力就很大，导致挤出、破裂；又或者容易产生不均匀剪切场（如滑移、剪切带等），这都导致数据不可用。想看非线性粘弹性，做拉伸流会更好，当然仪器是否具备另说了。