关于离散测度没有密度的问题

对于若干个离散质点组成的物体，能否定义其质量密度？不可以。考虑以下简化的问题。

设x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{R}，且各不相等。对任一勒贝格可测集A\subset\mathbb{R}，定义以下测度：

      \[ \delta_i\left(A\right)=\left\{\begin{array}{cc} 1,&x_i\in A\\ 0,&x_i\notin A \end{array} \right.,\quad \mu\left(A\right)=\sum_i\delta_i\left(A\right),\quad\nu\left(A\right)=\sum_i p_i \delta_i\left(A\right) \]

其中 p_1,\cdots,p_n\in\mathbb{R}^+。若是在讨论概率则还需\sum_i p_i=1。虽然\nu对\mu绝对连续（可验），但由于\mu不是\sigma-有限的，因此不适用于拉东-尼科迪姆定理以找到满足

      \[\nu\left(A\right)=\int_A \rho d\mu\]

的“密度场”\rho。Truesdell & Toupin的CFT[1]只对连续物质定义了密度，离散质点只有质量，没有体积和密度。在Truesdell & Noll的NFT[2]中这一点更明确。

在讨论物体的质量时，在这样一个定义下，一个由无限个离散质点组成的物体质量将会是无穷大的。理论上我们接受这一设定[1]。相应地，在讨论概率的时候，如何讨论一个无穷离散集上的概率？可以从有限集的情况向无穷进行推广而不会产生概念上的危机，例如这一链接中的例子。

一个由若干个离散质点的组成的物体既然没有质量密度场，那么它的“连续性方程”是怎样的呢？如何讨论其“质量守恒”律呢？CFT在定义了离散质点的质量后没有再讨论这个问题，而NFT从定义物体质量的时候就明确不考虑离散质点的情况。我在这里给出的意见是：连续性方程只是在需要用连续介质力学时才需要首先列出的。对于离散质点组成的动力学系统，已经可以使用常规经典力学课本中介绍的牛顿力学或拉格朗日力学来刻划。如果非要讨论离散质点体系的连续性方程，那完全不妨引入Irving-Kirkwood-Noll procedure[3]，此时所有连续介质的公设仍然成立（see also [4]）。

现在我们转而考虑相空间流体由离散点组成时的相密度场问题。本文一开始已经否决了，对若干个离散点是无法定义密度场的，也没有资料讨论这种体系的“连续性方程”。因此，如果一个动力学系统在某种约束下，其所有可取的状态（all admissible states）在相空间是离散的状态点（多于1个），那将无法定义“密度”并讨论其刘维尔方程。问题是，这种情况是否可能？我的推断是不可能。以下是一些不太充份的理由。

如果一个动力学体系在某约束下可以取两个离散的状态点，那么既然它们都“可取”，就应当存在一个虚拟运动由其中一个状态达到另一个状态。但这将要求这个动力学体系要么速度无穷大（构型空间中的瞬移），要么加速度无穷大（动量突变）。能否说在经典力学中这两者都不被允许？如果速度（动量）无穷大，将导致无穷大的能量。只能说，如果认为整个经典宇宙是一个孤立体系的话那么整个宇宙的总能量是有限的常数（否则没有能量守恒的讨论），任于这个宇宙内的动力学体系不可以具有无穷大的能量。因此，也不可能有无穷大的加速度，因为这需要消耗无穷大的能量，经典宇宙不具备。但是经典力学对宇宙是否必须有这种孤立系统的规定，我不太清楚。而且如果真的一定要依赖这一规定，才能禁止加速度无穷大，那可能孤立宇宙就是经典力学的其中一个必要的基础。总之，我目前依赖于速度无穷大和加速度无穷大的绝对禁止。

为何两个“可取”状态间一定要存在至少一种连结它们的虚拟运动呢？为何不能通过设置初条件为任一个可取状态，然后体系之后就留在那个状态不动？——这样也不违反“两个状态都是该约束下可取的”，但之间没有任一种虚拟运动可以联系。我答案是，这种情况违反因果律或信息守恒。因为力学问题中的“初条件”，也必须是在同一动力学规律下可以从其他状态“达到”的终点，不能是“无因之果”。如果一个初条件状态，除了人为设定它在这一状态之外，无法从其他状态达到，那这相当于“上帝的第一推动”问题。而这一问题适用且只适用于一个动力学系统——整个宇宙。所以在任何具体动力学系统的问题中这是不允许的。

所以，动力学系统的相空间流体可以一般地避免“离散点没有密度”的问题。它总是“连续介质”（或说是单连通紧集）。

2022/10/4补充：在R. Tolman教材中是这样引入的：

…, it is also to be noted for statistical purposes that we shall wish to use ensembles containing a large enough population of separate members so that the numbers of systems in such different states can be regarded as changing continuously as we pass from the states lying in one region of the phase space to those in another. Hence, for the purposes in view, it is evident that the condition of an ensemble at any time can be regarded as appropriately specified by the density \rho with which representative points are distributed over the phase space.

…

The quantity \rho is then to be understood as determining the number of systems \delta N, which would be found at time t to have coordinates and momenta lying in any selected infinitesimal range \delta q_1\cdots\delta q_f\delta p_1\cdots\delta p_f, in accordance with the equation

    \[\delta N=\rho\left(q,p,t\right)\delta q_1\cdot\delta q_f\delta p_1\cdots\delta p_f\]

We assume a large enough total population of systems so that \rho and \delta N can be regarded with sufficient approximation as changing continuously as we go from one region in the phase space to another.

By integrating over the whole of phase space, we can write

    \[N=\int\cdots\int\rho\left(q,p,t\right)dq_1\cdots dp_f\]

as an expression for the total number of systems N in the ensemble or phase points in the phase space.

p. 46~47

这段引入字面上是希望当N足够大时，微、积分表达式能作为相空间密度的一种近似。但作者仍然坚持积分后的是“系统的总个数”（total number of systems），是可数的概念。这其实暗示了种用Dirac delta函数来表示离散点密度的方法。如果这么处理，上述的表示就不是一种N很大时的近似，而是对任意N的精确表示。

References

  1. C. Truesdell, and R. Toupin, "The Classical Field Theories", Encyclopedia of Physics / Handbuch der Physik, pp. 226-858, 1960. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2
  2. C. Truesdell, and W. Noll, "The Non-Linear Field Theories of Mechanics", The Non-Linear Field Theories of Mechanics, pp. 1-579, 2004. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-10388-3_1
  3. P. Podio-Guidugli, "On the Mechanical Modeling of Matter, Molecular and Continuum", Journal of Elasticity, vol. 135, pp. 435-456, 2018. http://dx.doi.org/10.1007/s10659-018-9709-y
  4. A. DiCarlo, . , P. Podio-Guidugli, and . , "From point particles to body points", Mathematics in Engineering, vol. 4, pp. 1-29, 2021. http://dx.doi.org/10.3934/mine.2022007

研究生导师的伦理规范

我之前在这个博客放出过我导师关于如何做导师的一些想法，引出他联想的文章是冯培忠老师的文章：科学网—立德树人 如何做一名合格的研究生导师？ – 冯培忠的博文 (sciencenet.cn)。我导师最后说，冯培忠老师所列出的若干条——

那些是“至少”的对正常人的要求吧，如不跑腿办私事、不当骡马、不主宰学生、不语言暴力、不与异性独处等等，全做到了也难说就是学术导师了。

其实在应用伦理学当中，所谓“对正常人的要求”，应该是对应着基本道德原则。而那些具体指导着研究生导师事务的伦理规范（关于什么是好/坏的做法的一般原则），则属于“职业伦理”的范畴。

导师如何指导研究生、如何管理实验室，也有很多必须讨论的伦理学问题。关于“如何指导研究生”的正确和负面描述已经很多了。正面的描述包括科学家的传记、回忆录和类似上述这种个人观点的总结；负面的描述包括了广大经历不幸遭遇的研究生的控诉。尽管这些文字相当多，它们对于形成共识的帮助很有限。哪怕是那些正面的描述，差异都非常大。著名科学家提导研究生的方法就已经风格各异，甚至相反。他们指导研究生的经验，也无法直接向普通科学家和研究生群体推广。说到最后似乎就只剩下“导师指导研究生的风格可以很多样，没办法一概而论”这种和稀泥的结论。只有正规的伦理学研究，才能把帮助我们把道理讲清楚，形成共识。可是我留意到，目前大部分关于科学伦理的研究资料都是关注科学研究过程的，关于导师指导研究生、以及实验室建设和管理过程的伦理资料很少。

“研究生导师”，英语有好几个词：mentor、advisor、supervisor等等。但关于指导研究生这件事的抽象名词，是用mentor加上后缀-ship得到的，mentorship。Mentor这个词最早来自古希腊，是荷马史诗《奥德赛》中的人物名称，作为人名译为曼托尔。曼托尔是奥德修斯的朋友。当奥德修斯前往特洛伊的战争时，他让曼托尔指导他儿子忒勒玛科斯的学习。也有人说，mentor今天的含义，更多地来自荷马史诗中的女神雅典娜。她化身成为自称Mentes的酋长来帮助忒勒玛科斯。之所以认为曼托尔不足以作为mentor一词今日含义的来源，而需要考虑雅典娜所化身的Mentes，是因为mentor一词在今日被认为同时具备以下意义：

[Mentors should be understood] as role models, as counsellors, as advisors, as teachers, as nurturer, as friends and as sponsors.

Homer’s Mentor – Duties Fulfilled or Misconstrued (nickols.us)

Role model（榜样）、counsellor（辅导员）、advisor（顾问）、teacher（教师）、培育者（nurturer）、friend（朋友）和sponser（赞助者），对于研究生导师来说似乎都是普遍期望之内的角色，而没有过份夸大。因此把指导研究生这件事叫做mentorship应该是再恰当不过。只不过，从规范伦理学的角度来说，如果上述不同的角色都要同时扮演，将难免引入大量道德两难处境。如果我们以这种综合角色作为理想的研究生导师，严肃而详细的伦理学研究就更加必要了。而且相应地，mentorship的伦理一定能镜象出menteeship（研究生）的伦理。

我在多年前就尝试整理一份面向课题组的科学伦理学的介绍。我希望不是那种外行的泛泛而谈式的无聊说教，而是先正式地介绍什么是伦理学，并在正式的规范伦理学层面阐述作为职业伦理的科学伦理学话题。当时因相关资料缺乏我停在了研究生导师与学生关系的伦理学上。但有一对资料，分别面向导师和学生，已经非常接近规范伦理学的层度了——它只是没有提取出伦理学概念重述为伦理学家的专业语言而已，而这在我的目标中也其实并不必要。我在此郑重推荐它们，可在University of Michigan的Rackham Graduate School关于mentoring的网页下载。

这两个文件同等重要。我觉得更值得赞赏的是写给导师那份。在读它的内容的过程当中，我止不住跟中国的情况相比较。显然，这些指导建议在中国充满了水土不服，从而能看出了很多中国的文化问题，不说罄竹难书也至少足以让我写十几篇文章去讨论。

2018年Nature Biotechnology上的一篇报道报告了研究生群体中更高的焦虑和抑随比例，促使美国高校在院系层面对mentorship的重视。除了上面提到的University of Michigan研究生院有公开的committment外，我看到MIT也有一个Committed to Caring，（好像是）每年会选举表彰真正关注学生福祉的教师导师，其选举条件中也相当于声明了在MIT看来何谓“关注学生福祉”的标准。

更多关于mentorship的学术研究和讨论，首先可以看UMich那份文件中的Further reading，然后这个网页也给出了更加近期的参考文献。

尽管文化、体制等现实完全不鼓励（甚至是在破坏着）这种良性的师生关系，但我仍希望不惜牺牲自己的职业前途而致力于做一个真正意义的研究生导师的人，能至少做对了事情，牺牲得其所。

知乎：我22年被录入高分子材料与工程专业，在网上看到很多劝退的，现在有些犹豫，高分子专业真的好吗？

原问题链接：我22年被录入高分子材料与工程专业，在网上看到很多劝退的，现在有些犹豫，高分子专业真的好吗？

在“选专业”的问题上，很多人输出的逻辑大约是由以下几条构成的：

  1. 所有专业都可以横向比较好坏。因为我们不care具体学啥。
  2. 因为人生本来就不为了学任何东西，而是为了买得到房，找得到妹子，人生能卷赢别人，要给自己一种值了、赚了的感觉，才不后悔。
  3. 总之到处有人吓唬你说，你人生最终高不高兴，就看上述这些，如果上述这些有一丝残缺，那这种失落感将会无法用任何别的精神偿来满足。所以他们劝你，除了上述这些因素，其他因素，比如兴趣、事业上的成就感、满足感等等，都没有纳入考虑的必要。
  4. 任何具体的不同学校、学科、专业或行业，在上述那些被推荐为主要的因素之上，就都具备横向比较的可比性了。
    有一个很有趣的例子。我发现有很多人认为学工科会使男生找不到妹子，所以劝退。尽管这种观点的详细论证中充满了对女性、对恋爱关系的严重误解和偏见，但持这样的观点的理工男的存在本身，又吊诡地反过来支持了：确实，学了工科的人真的易于习得大量对女性和恋爱关系的误解和偏见，somehow这种观点又能成立了。

我再继续补充，上述这种逻辑的在更抽象层面上的默认观点。

  1. 为什么1~4适合大部分人，或说它们对大部分人是有益的？因为大部分人其实并不知道自己人生要干嘛。或者至少说大部分人并不能及时地知道自己人生要干嘛。尤其是在选专业的时候。
  2. 人几乎不可能在人生观、价值观都想明白之后，再去做人生当中的任何一个决择。因为有的人可能一辈子想不明白，但他在活着的时候必须做一系列决择。
  3. 庸俗而市侩，词不好听，但它只不过是统计上大部分人幸福感的来源范畴。
  4. 所以既然你还很懵懂，那一个安全的、或bayesian-like的办法就是优先按照庸俗而市侩的方式来做决择。因为——
  5. 就算事后你看透了自己，发现自己是高雅的人，当初的决择过于庸俗的，那又怪得了谁呢？谁叫你没更及时地看透自己呢，所以你是不会为懵懂时的庸俗决择而后悔自责的。你能这么洒脱，因为你高雅。
  6. 反之，如果你懵懂时模仿高尚的人的做了个小众的决定，日后你发现原来自己是个庸俗的人。你却原谅不了自己，一生哀怨。你就没有上一条那样的洒脱，因为你就是庸俗的。（请注意，正如我回答开头所说的，我正在描述某种价值观的逻辑，不代表我本人认不认同。）
  7. 大部分人都没有信心自己将来会出落为一个高雅而不是庸俗的人

这0~-6支撑着上面的1~4。

在劝退大V中，头部有几个自己还在其他平台开号的，大概就是上述这种底层主导逻辑。

所以像你这种这么懵懂的，还搞到要上知乎问问题的，那你还是多看看劝退大V吧，你照他们的做完之后，至少人生心安理得，能够说一句“反正当时我也采取了行动，谁也怪不了我了”。

当然，具体到高分子专业的一些信息和考虑，倒是可以看我另一个回答：

至于我的其他关于专业选择的回答，建议你还是不要看了。它们不适合懵懂人，或者简单地说属于“劝进”。因为我本人吧，上述的-6 ~ +4，每一条我都不同意，或对我都不适用，或我是相反情况。如果你也是这样，你根本不会产生现在这种困惑，甚至来提问。所以again你最好多看看“劝退”大V的文章，无论如何至少能催眠你拿得定一个主意，逃出当下的痛苦。日后的事日后再说……

对了，我再给一个善意的提醒。网络上的营销号，可能正、反两个意见阵营背后都是同一个老板。我不知道实例因为我不是搞这个的。但我设想这样有很多好处，其中一个就是可以同时管理正反两阵营达到双双优化。

比如我发现的一个现象（且我怀疑是有意为之的）。例如你可以经营一个“中国崩溃论”的号，在里面，你不仅要正向输出观点和故事等内容。平时在日常输出的措辞上，有话偏不要好好说，非要烈地加入幸灾乐祸的感情色彩。无形中，那批“听劝”的人群会有获得一种幸运的心理加成，而对那些“不听劝”的人群则是一种负面的心理加成。似乎不听劝的人简直就是犯了大罪，坐等审判日到来之时通通下地狱——“你惨了嘿嘿！你不听劝？你等着哭死吧！”。同理，你另外又经营一个“美国崩溃论”的号，也做同样的事。你作为两个号的共同老板，这样做就催促那些“中间摇摆选民”，赶快义无反顾在选定任何一方，赚到他们的钱。说白了，针对中间摇摆分子，策略就输出焦虑——无论是向哪个方向的——反正落到天平的任何一端，钱都是同一个人赚的；最赚不上钱的就是停在“理中客”的正中央的那群人。

总之今时今日，懵懂而困惑的、无法自己拿主意的可怜虫们，上网寻求帮助时，面对的仍是一群磨刀霍霍向猪羊的情绪强盗。因为社交媒体从起初的世外桃源式的自发模式，发展到全部被资本所垄断的今天，资本更乐见到的恰恰就是一个撕裂的社会。每个懵懂百姓，都只好指望着某套由他人提供的不容攻破的说辞，自以为幸福地熬完兴亡皆苦的人生。