随机过程

最近准备关于布朗运动的课程讲义,翻了很多随机过程的教材。我关注的重点仍是用少之又少的学时传达建模布朗运动所需的随机过程知识(或仅仅是思想),所以筛选的是一些简明教材。当然我自己为了扎实也看了很多形式严格的书,包括王梓坤的书。

让我特别想写下这篇博文的是一本湖南大学出版社的《随机过程》,作者是湖南大学的吴俊杰、合肥工业大学的潘麟生。

我觉得这本书非常好,它做到了以最少的篇幅,提供最必要的知识。作为应用数学教材的作者,它很难预知读者都是什么领域的。这需要凭教学经验知道,学生在学习的时候一般缺什么知识。在严谨性上,在意什么方面,不在意哪些方面。更重要的,作者需要自己有一个很profound的understanding,在关于:“哪些内容是必要的?为什么?”——这个问题上有明确的观点,一方面主导着他为少学时课程和初学者节选内容,另一方面使他能把所节选的内容讲得十分coherent。也就是说,这个作者自己需要已经“把书读薄了”,而且是把书读成几种版本、面向不同读者的“薄”。从这些角度去评判一本教材的内容,很容易鉴别一本简化了的所谓“少学时”教材是否是一本四不像垃圾,以及这个教材的作者“是不是真的懂”。

我发现吴俊杰和潘麟生的《随机过程》经受住了所有这些考验,因而应是一本经典。只可惜它埋没在了大量同名教材当中,在“中文教材滥觞”的灾难下形同消失。就算偶然被人从图书馆翻到了,也由于它极其modest的封面、印刷和那“毫无特色”的前言,被评一句“毫无特色”。所幸,两位默默无名的作者曾在《大学数学》上发过一个小豆腐块儿,谈了一下编这个教材的想法和过程,我十分建议大家去读它,我就不在这里全文复制粘贴了。

我认为“教材的书评”这件事情(属于评价学层面的讨论了)应该是这样的。因为在教学实践当中经常面临的就是学生基础背景跟学习目标都跟你实际了解的知识差距非常远。你完整懂了一个全集,却并非一劳永逸,而是每每要根据不同的学生群体重写“阉割版”讲义。评价一门课或一个讲义,永远是对简化之后的产物进行评价。任何一个标题(例如“随机过程”、“多元函数微积分”等),明明正确知识只有一个版本,却出现这么多教材,能作为评价原则的也就是评价它们:1) 为何简化;2) 如何简化;3) 利与弊,目的达成与否。国外教材,作者一般会在Preface或Introduction中自己阐述这些问题。国内教材(指用心写了的少数),无非吃亏吃在了中文文化中“少展露个性思想”的惯性。

像这两位这样的教科书作者,也许不多,也许不少。其实学术著作,就算是大学本科的教科书,也是常常首次出版之后,只印过一次,之后就再也没有重印了。因为同类教材多如牛毛。自己在有限的教学生涯过程当中总结了一个讲义,出版成教材后,最多也无非是本校本院会去采用(有时甚至未必)。不作特别宣传的话,全国难有其他高校去采用。教材的口碑市场,本来就比学术论文的更薄弱,而且在我国尤其如此。我想像在那个还没有互联网的时代,也许与教学相关的国内会议中,各高校教研组的老师能有一些交流,一些教研方面的期刊会有一些书评,也就最多如此了。出版社除了那些列入“十X五”、“新世纪”等“工程”的教材项目之外,是否再印一个“普通地位”的教材也完全看市场。图书馆的架子,成了大多数真正脱胎于教学过程的教材的生命终点。

我总认为国外的情况稍好一些。在上世纪互联网时代之前,学术传统就已经很发达,大量师承关系从19世纪开始就没有断过了,教材的口碑市场至少仅靠口口相传的基础都非常强健。这也可以从很多出版社不仅重印经典,还以冠以“经典系列”作成丛书来重新出版(例如Dover Publications就做过很多这种事)。反观,我国只有80年代之后才算开始从零形成正常的学术环境,学术师承就几乎免谈,再加上高等教育的苏式和计划特色,教材市场在完全没有口碑机制的社会要么依附权力、要么野蛮生长。国外在有了amazon.com之后,更是更多原本无名教材复活的春天。Amazon.com是教材书评方面的佼佼者。我认为amazon.com的存在使得英文教材的口碑市场进入了新的时代。我从我所看过的教材以及amazon.com上的评价看到的是:国外的教授会上网,amazon.com有他们上课使用某教材时的评价;国外的研究和开发者会上网,amazon.com有他们做项目时要恶补某知识时使用某教材的评价;国外的大学更是会上网了,amazon.com有他们要辅助课程学习、找练习题、过期末考时,对某教材的评价;last but not least,教科书作者本人也上网,很多畅销教科书的再版又再版,就是参考了amazon.com上的评价进行改善和更新的——一种非常市场化的教材撰写模式。这在我国仍然是也将继续会是空白。首先我国的互联网是被有意地限制其社会功能范围的,这也导致了其次,除了学生之外学术界的其他角色根本不上网。国外像上述那般因amazon.com而进入了新时代的事情,在我国是不会有的。

我国本来就没有享受到西方那样的连续的现代史和科学史。半正常地发展了短短几十年,世界又深化到后现代了,包括“科学”在内的原本光荣神圣的“现代性代表”已经过时了。中国到底能赶上哪一拨呢?

Parzen的书特别引用过同时代的宇宙学研究(p.71)。就是把当前这一个宇宙看作一个随机过程的某次实现。想从这一个实现来研究统治这个宇宙背后的分布函数。所以,这个宇宙发生的一切都只是一次随机实现而已。中国赶不赶得上哪一拨,who cares。

书单

长期以来我依赖libgen获取书的电子版,并在iPad Pro上记笔记学习。自从上孔夫子旧书网买了一些中文旧书之后,我同时也发出了很多英文旧书价格并不贵,陆陆续续地从上面买到了我特别喜欢的书的纸版,以作收藏。在这里分享这种满足感的同时,也算是列一个进阶学习的书单吧。

对我帮助最大的线性代数课本是Hoffman & Kunze的那本。我阅读的电子版是第二版的paper back。这本书几乎没有插图,是典型的以引理、定义和定理为骨架,掺入remark丰富意图说明的数学书。它适合自学的一点是证明齐全看得懂。通过看书上定理的证明方法我学到了一些技巧,使我能够独立证明或证伪一些我想出来的命题,这种能力对我按自己的思路来写讲义很有帮助。该书虽然标题是线性代数,但是在内容上是很好的抽象代数入门。

我在amazon还买到了Williamson, Crowell and Trotter的Calculus of Vector Functions第二片和第三版。我在找这方面的书的时候,希望能把向量看作有限维向量空间的元素,而不是R^n上的有序n元组。这本书是比较容易让我按前者理解来写讲义的。尽管它上面的例子都是R^n上的,但它的定义方式很容易移植到一般的有限维向量空间上。这本书的证明也很齐全。特别是给了出了反函数定理的一个普通水平读者看得懂的证明。该书倒是很不吝啬插图,足够地强调了这个话题的几何意义。而且书上的插图很适合在黑板上画出来,上课时可照着画。

物理学要从热力学开始。王竹溪的《热力学(第二版)》是我比较过好多课本之后(包括Callen),认为在foundation问题上处理得比较平衡的一本。须知这是热力学课本的最高级指标,在这件事上令人满意的书,在其余问题上就无庸质疑了,所以上面的评论相当于说王竹溪的《热力学(第二版)》是完美的。

这本书比较值得收藏的是80年代上海市印刷三厂印装的绿色硬皮的版本,此时全书还是使用繁体字。书中的数学公式符号风格十分雅致,排版也十分小心(虽然有很多手工痕迹)。书上的插图线宽和字号都很平衡,全书的插图风格一致(说明全是作者自己在文字撰写的过程中按需要绘制,而不是直接截取其他文献的图)。

王竹溪的书已经涉及到了不可逆热力学。但这个话题的经典是de Groot & Mazur (1961)的那本。这本书是后来的课本几乎都引用的“第一本书”。但是我对这个话题的学习主要都是看几本其他的书,包括Gurtin, Fried & Anand (2010)的那本连续介质力学与热力学。de Groot & Mazur这本我其实没有从头到尾认真看完过,只能在下一个系统整理这个话题的机会去做这件事了。

Tolman的统计力学也是经典的“第一本书”。它一齐把平衡态与非平衡态统计力学的观念都一次性建立了。这也是比较符合历史认识顺序的。但是这本书也是我最近才拿来看的。我本人的统计力学基础学习是靠 McQuarrie的课本。Tolman的书真的是比较老了(1950)。我手头上的这本的封皮材料老化变脆,需要修补。

非平衡统计力学的书常常会夹一些随机过程的理论。随机过程有很多好书,比如很多人所推荐的Ross的那本。但是我觉得比较亲切,适合教学参考的是Parzen这本,因此我也在孔夫子上搞一了一本实物。

我还搞到了Flory的书,这本书就不必多说了。

Flory的approach是偏向平衡态统计热力学的。动力学方面的专著可以看Doi & Edwards那本书。在前面介绍的数学基础和统计力学基础之上,到此基本可以完成比较近世的高分子物理理论的掌握。我觉得高分子系的课程也应该如此改革。

信封

一封信

最近在孔夫子旧书网买了一本书,结果是邮政送的信件。打了一通电话才知道,投在了楼下大堂的邮箱里。

自从搬2015年搬到这个楼盘以来,我就没管过楼下的邮箱,也没有钥匙。早就已经是快递时代了,哪怕寄的是文件也是以文件袋装好的快递,再没有收到过信件。我隐隐的觉得信件这个事物已经并入了快递了,只不过是比较慢的快递而已。

对方在电话里说:“哦,你的信啊,放到了你的邮箱里了。”

我心想,是门口那个不时有几张广告卡片的“羊城晚报”报箱吗?我查过了没有啊。再一想才想到可能是楼下的信箱,补问了一句“是楼下的那个吗?”

对方立刻回道:“对呀对呀,我是邮政的呀!”

我立刻为难起来,我没有那个信箱的钥匙,这给放进去了我怎么拿?于是着急回道:“可是,可是我没有那个邮箱的钥匙啊……”还连续重复了几次,怕对方把电话挂了。我内心希望的是他能在方便的时候帮我从邮箱里再拿出来,送到我家门口——就好像快递员把包裹放到了快递箱,我不同意,然后他就只好再取出来给我送过来那样。当然我又不好意思直接提出这个要求。因为人家是邮递员,你的是信,放邮箱就完成工作了。人家凭什么还帮你拿出来,拿到你门口?你花了这钱了吗?但毕竟我就是没钥匙,他反正每天派信,万一他愿意呢?我又不吝啬感谢之辞。

果然,他问了一句,“你现在在家吗?”

看来他明白了我的意思了!我说“在在在!”

谁知他说:“那你现在下来拿吧,我正好在下面。”

尽管这跟我以为的答案不一样,但我立刻回道“好的,我马上下来”,快到好像我原本就是这么认为似的,保证让他感受不到一丝迟疑。

到了楼下,远远看到大堂除了保安之外就只见一个全身脏到像建筑工地的杂工的人。我立刻警觉起来,会不会就是他?赶紧确认!不要让他发现我因他太脏不像而有所迟疑。果然定睛一看他脏得发黑的衣服上有中国邮政的标志。就是他。于是我在他视线看到我之前就以确认不疑的态度直接跟他说:你好,我是2208的。装得好像我从一开始就知道他就是邮递员那样,让他感受不到我曾因他太脏而有一丝迟疑。

他立刻帮我打开信箱取出了所有的信。我的嘴皮子也特别勤快地围绕“我没有信箱的钥匙”这个主题寒暄着,以表示亲近和感激。忙着干活的快递员当然无暇搭话,倒是旁边的闲着旁观的保安瞎凑热闹地说:“你就把这信箱打开着嘛,很多家信箱都不锁的。”我附和了一句“对啊,那我也打开着吧。”然后话峰一转又问这个快递员:“那我能重新问你拿到这个信箱的钥匙吗?”

“可以啊。”

“那你给我吧。”

这时他突然急了,立刻开口”但是但是……“我以为我是提出了多么不堪的要求,心也提了起来,谁知他继续说“但是要交30块钱工本费的哦!”那语气仍然充满了严重的警告语气,似乎我竟然忽略了这件事情的巨额成本就提出这种要求属实是太漫不经心,我要受到责备。

但这种感觉一瞬间就消失了,因为这只是日常熟悉的一种反应。凡是天天与大量小气鬼客户打交道的服务性行业,一旦什么事情要交“工本费”、“上门费”、“检修费”、“开孔费”、“钻洞费”、“配件费”、“制证费”……这种时候,对方都会好像有被投诉或被赖帐PTSD似地急促焦躁地多番警告,简直好像不想挣这钱了。

而我每当这种时候,对方说要交钱我都只有一句”没问题“,无论对方开出多少价钱我也都一句“没问题”。但对面的这位不是上门洗烟机或者给空调加雪种的,而是背靠国家、穿着中国邮政的邮递员,竟也有这种PTSD,让我额外生出一丝恻隐。到底是有多少人,给邮箱换个锁,都要跟邮政的吵架不想交钱?我脑中立刻浮现出眼前这个快递员被十五种不同类型的傻逼恶心的场景。回个“没问题”显然是不足的了。于是我加了码,以斩钉截铁的语气高声说道:“我现在就给你!”

搞得旁边保安蒙了几秒没说话。

我用最快速度调出了微信付款码。我认为我做到了话音未落手机屏幕就已经是二维码的画面的效果,但仍然赶不上邮递员转头的速度。他转头之后就去外面的自行车后箱里找新锁、取工具,然后走回来,把旧锁卸下,装上新锁。这一整个流程,他一眼没看我手机,尽管我一直把手机朝上朝外,显摆着我那已经到位的二维码,他愣是没看一眼。

装完锁之后,我以为终于要回过头跟我说话了吧,可以交钱了。结果他把钥匙给我,叫我试试。这时我只好右手接过钥匙试锁,左手仍然不自觉倔强地捧着屏幕朝上的、亮着二维码的手机,仍不认输。

终于轮到交钱的那一刻,结果他来一句:“你扫我。”

“哦哦,我扫你,好的好的。”

邮递员走了。我的手上,多了两把钥匙。在电梯里我一直把它握在手心,好像这是收到了什么重要的礼物。

到家后,我看了一下这个邮箱。它确实是“信”,它有一个信封,空白处被黑色水笔潦草地写上了地址我家地址。它真的是信不是快递,因为信封上还有邮票,盖上了邮戳。快递是不用贴邮票的。快递费是手机支付的。但信是贴邮票的。这是一张5元的邮票,内容是“麒麟送子”,可能是一种民间年画。邮戳是“济南·炼油厂南区”。邮件重量是157,检查人员叫做何平。

作为80后,寄信收信是我前半生的日常。高中的时候,我还交过几个笔友。但今天是我第一次如此仔细、反复地看信封上的这些元素,好像我对那个时代已经失忆一样。我很感谢卖我这本旧书的那位书商,在2022年给我寄来了一封信。