C. Truesdell文章选段赏读(一)

The ancient Greek philosophers speculated whether matter were an assembly of tiny, invisible, and immutable particles, or a continuous expanse. As the quantitative, mathematical science of the West developed, the debate continued but became more and more definite and detailed. The great theorists proposed specific mathematical theories, restricted to certain specific kinds and circumstances of bodies, for example, to “aeriform fluids” subject to moderate pressures.

这段一共三句话。

第一句:虽说只是要求英译中,但其实有些英语本身的一些现象我也会提示一下。第一句我们看到matter作“物质”解应是一个不可数名词用单数,但后面却跟were,这里实其实用了虚拟语气。跟suggest, propose之类的动词后的宾语从句类似spectulate后面的这个宾语从句也用了虚拟语气。再加上主句是过去时态从句要跟随因此作为be的虚拟语气过去时态就是were。

然后就是,很多同学把immutable简单译成了“不变的”。其实-ible/-able后缀的形容词都带有原来那个及物动词的被动意义,表示“可被XX”的意思。例如invisible是“不可被看见”的意思(原动词是view),讲人话就是“看不见”。所以immutable在这里也表示不可被转化(mutate)。虽说这跟“不变的”没有原则上的区别,跟用其他近义词static或者permanent等的意义是不同的。

在这一段的第二句和第三句之间,其实应该插一个类似therefore之类的连词。第二句是接着第一句说,在物质组成问题上这个争论越来越明确和细化,其实这是在说当时的人物质细分的道路上越走越远了。第三句则是说人们为不同的物体在不同的条件下提出了不同的特定理论,例如aeriform fluids这种理论模型就是只适用于中等大小的压力条件的。为什么这句接在上一句之后呢?这第三句本身是还在讲物质细分吗?不是了,这句话其实是在说我们对宏观的事物只能具体问题具体分析。这其实就是因为我们对物质基本组成的认识太细,非要一切都从最小组成开始建立一个统一的还原论理论太难了。所以第三句其实是第二句所述的情况造成的后果。原文没有使用一个连词,但翻译的时候把这层关系也翻出来会比较顺一些。

第二句中的definite and detailed是个押韵。

Until the first decades of this century it seemed possible that one or another theory would turn out to be the final one, the one that would explain everything about matter and thus be universally accepted as “correct”, while all competitors would be defeated. Far from being borne out, this hope now seems childish. Our picture of nature has become less naive. While in the nineteenth century more and more aspects of the sensible world were shown to be mere appearances, mere “applications” of a few fundamental “laws” of physics or biology, the recent enormous production of experimental data has undeceived us of our former simplisms. The line between the living and the inanimate has been blurred if not erased. Within the once indivisible atoms has been found an ever growing host of mysterious “elementary particles” whose nature and function are scarcely clearer than those of dryads and familiar spirits.

这段有六句话。第一句之所以长是有个the one的同位语从句。从同学们的反馈来看不难理解正确。第二句的Far from being borne out是省略了共同主语,谁being borne out呢?是后面的hope。bear out是指support的意思。Far from可以约等于否定。所以这句表达了一个转折,因此翻译要用中文的转折修辞,大概是“这一希望非但没有得到事实的支持,反而xxx”。

第三句很多同学译不对。While打头,说明这个句子有个转折关系。While带出的是一个意思,后面一定还有另一个相反的意思,而且要强调的是后面那个意思。我们找一找就知道,转折是从“the recent enormous…”开始的。先理解好这一部分,要注意our former simplisms是指哪些?应该就是前面While带出来的那些认识了吧。undeceive sb. of sth. = free sb. from the deception/illusion/error of sth.。因此整句话用的翻译要套一个转折,大至像“虽然19世纪xxx,但最近的大量实验结果把我们从上述的这些简单想法的迷思中带了出来”。注意这里的simplisms是复型,不作“主义”解,而作“想法”解。

第四句和第五句,其实就是进一步举出到底是哪些“大量实验事实”把我们“从简单想法”中带了出来。第四句是“生命与非生命之间的界线更模糊了”。这是什么实验事实呢?其实就是生命的化学基础,代表性的就是DNA分子结构的提出和证实。第五句是“在原子内部发现了大量更小的基本粒子”。中的scarcely clearer than xxx,其实就是no clearer than,因为scarcely跟hardly类似是表否定的。因此意思不是有哪更清楚,而是二者都一样不清楚,或说A也不比B清楚多少。注意到这一句打头用了个倒桩,不过这个难不倒机翻,就不说了。

C. Truesdell文章选段赏读:引子

给研究生上的聚合物流变学课结束了。这门课实质上只是给化类和材料背景的学生补习一些必要的数学概念和物理概念,帮助他们从概念上理解连续介质力学,理解论文中的本构关系。这对他们来说已经是一个很可观的学习任务。再加上我本人的讲授水平有限,如果有学生听不懂这门课,那也主要怪我。因此这门课的期末考察不以“考”为目的,而是选择了C. Truesdell的两段没有数学推导的的文字,让学生做个英译中,我酌情给分就可以了。

我从两篇文章中各选出一段。第一篇是来自他的文集An Idiot’s Fugitive Essays on Science: Methods, Criticism, Training, Circumstances的第7篇,标题是Statistical Mechanics and Continuum Mechanics (1973, 1979),我选了开头的13个段落。第二篇是他的书A First Course in Rational Continuum Mechanics的第1章第1节的第2~5段。第一个选段。

考虑到学生实际可以使用到任何机器翻译工具来完成作业,我亲自测试过几个流行的免费机器翻译软件,发现C. Truesdell的文字有很多地方是机器翻译失效的。但对于学生来说又未必是无法理解的。因此这两个选段从期末考察的区分度和公平性来说是可以满足要求的。从学生交上来的作业情况看,确实能明显看出哪些是机翻的,哪些是亲自翻译的。花点儿时间细看的话甚至还能知道有的学生机翻完了之后自己还作过哪些改动。

但除开考试的因素,我还是了解到这两篇文字对学生来说还是挺难的,据说是比考研阅读难,而且有些长难句也比考研的英译中大题难。所以我想不如把这两段文字的解析写出来,既算是公示“参考答案”,也能给有兴趣回看这个期末作业的学生一个学习提高的机会。

当然,我本人既不是英语专业的也不是物理专业的,为人师表的责任下我可以保证80%基本正确,但肯定无法保证100%绝对正确。赏析的深度也仅限我自己学生时代接受过的一些英语考试培训的水平。

欧几里德空间的现代引入中的一个问题

\mathcal{E}是一个非空集合,里面的元素称为“点”。对于集合中的这些点,我们可以做《几何原本》说能做的所有事,从而得到一切《几何原本》能得到的结论。其中就包括允许我们谈及“由点a到点b的有向线段”,a,b\in\mathcal{E}。我们建立一个“从点a到点b的有向线段”到一个向量空间\mathcal{V}的映射\Phi:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V},且\Phi\left(x,x\right)\equiv\mathbf{0}\forall x\in\mathcal{E},其中\mathbf{0}\mathcal{V}的零向量。选定一个点o\in\mathcal{E},又可记\Phi_o:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}\Phi_o\left(x\right)\equiv\Phi\left(o,x\right)。在很多书中​(Berger 1987; Audin 2002)​,直接预先把\Phi_o规定为双射。但我在这里想先不作此规定。最多,由于我们希望\mathcal{E}中的每个原素都能在给定原点的前提下在\mathcal{V}中找到唯一对应(反之并不必亦然),从而规定\Phi_o为单射非满射。

我不确定离开某数集,光靠欧几里德几何的公设体系能否独立定义“线段的长度”、“两线段长度相等”、“一条线段的长度大于另一条线段的长度”。我似懂非懂地看了一下Wikipedia,兴许Tarski的公设体系实现了这件事。但不管如何,我们在“长度”问题上的重新定义,应该不会造成整个欧几里德几何的重新定义,因为“相等”、“大小”之类的逻辑,在数集里跟在欧几里德几何里是相同的。所以下一步我们定义,\mathcal{E}中有向线段(记为\overline{xy},x,y\in\mathcal{E})的长度就是所对应的\mathcal{V}中向量的范:

    \[d:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R},\overline{ab}\equiv d\left(a,b\right)\equiv\left\|\Phi\left(a,b\right)\right\|\]

其中\left\|\mathbf{u}\right\|\equiv\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\mathbf{u}\in\mathcal{V}

同样的道理,如果能认为欧几里德几何原本的“角度大小”以及其于这个概念的成立而证得的一切推论也是通过“相等”、“大小”等逻辑独立于数集而被规定的​*​,那么采用实数集来重新规定就不会改变原有逻辑基础,从而原有的几何推论也都成立(可用)。现在我们通过施瓦茨不等式来定义\mathcal{V}由三个不同的点所构成的角的度数。

\mathcal{V}中,由内积运算的性质,有如下关系:

(1)   \begin{equation*}\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|+2\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\end{equation*}

由施瓦茨不等式

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\geq\left|\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\right|^2\\\Leftrightarrow&-1\leq\frac{\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)}{\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|}\leq1\end{align*}

由于\cos:\left[0,\pi\right]\rightarrow\left[-1,1\right]是双射,故可定义“两向量的夹角”:

    \[\theta:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\left[0,\pi\right],\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)\equiv\mathrm{arccos}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\left\|\mathbf{u}\right\|\left\|\mathbf{v}\right\|}\]

式(1)变为:

(2)   \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\\=&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\end{align*}

由内积定义可知\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=\theta\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V}

\mathcal{E}中,由余弦定理(《几何原本》命题12、13),

(3)   \begin{align*}&\overline{ox}^2+\overline{oy}^2=\overline{xy}^2+2\overline{ox}\times\overline{oy}\cos\angle xoy\nonumber\\\Leftrightarrow&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

其中\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}表示由点xoy构成的角。将式(2)代入式(3)得:

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\\=&\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

比较上式等号左右两边,可知以下两命题互为充要条件:

    \[\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)=\pm\Phi_x\left(y\right)\Leftrightarrow\cos\angle xoy=\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\]

我们不妨对映射\Phi增加规定:\Phi\left(o,y\right)-\Phi\left(o,x\right)=\Phi\left(x,y\right)=-\Phi\left(y,x\right),\forall o,x,y\in\mathcal{E},则由上述等价关系我们同时获得了\mathcal{E}中的角\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}的大小与实数域\left[0,\pi\right]的映射:\measuredangle:\mathcal{E}^3\rightarrow\left[0,\pi\right],\measuredangle\left(xoy\right)\equiv\measuredangle xoy\equiv\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)

至此,我做的事情是是:1)规定了\mathcal{E}中的有向线段与\mathcal{V}中的向量的映射(未规定是什么射);2)利用\mathcal{V}的内积定义,规定了\mathcal{E}中线段的长度和角的大小与实数集的映射。在做这些规定的时候,我利用了已知的欧几里德几何推论(余弦定理)。这一规定性自然而然带来一些需要重新证明的命题。例如,原几何规定(Tarski)的“两线段相等”,则它们所对应的实数值相等;原几何定义的直角,在现有的规定里对应实数\pi/2等等。这里我未能完备地列出上述重新规定所引起的这类重新证明任务,但我相信这些命题是有限的,易证的。这为我们建立\mathcal{E}\mathcal{V}的维数对应性打下了部分基础,即\mathcal{E}的“直角”与\mathcal{V}的“正交向量”对应上了。

尚缺少的概念对应是“过一点的直线”。也正是在这个问题里,我发现\Phi_o不得不如现有的书中那般进一步规定为双射。先看一个出发点比较好,但失败的例子——从\mathcal{E}的已知概念出发,通过已规定的(未必双射的)映射\Phi_o来找到\mathcal{V}中的对应。

由欧几里德几何易知,过点ab的直线上的任一点ca,b,c\in\mathcal{E},a\neq b,必满足以下四种情况之一:1)\measuredangle cab=0;2)\measuredangle cab=\pi;3)c=a;4)c=b。根据前文的规定,又有\overline{ac}=\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\overline{ab}=\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|。对于情况1)和2),由

    \[\cos\measuredangle cab =\frac{ \Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}=\pm 1\]

左右两边同除\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|

    \[\frac{\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}=\pm\frac{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|}{\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}\equiv\alpha^\prime\]

其中情况1)取正号,情况2)取负号。另外,显然情况3)和4)\alpha^\prime等于0或无穷。我们可以重新整理四种情况,写成

    \begin{align*}&\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)=\alpha\left(\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)\right),\alpha\in\mathbb{R}\\\Leftarrow&\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right)\end{align*}

上式中,前者仅是后者的必要非充份条件。如果这一步是充要条件,从而得到最后的结论,那么我们无需规定\Phi_a是双射,就能把\mathcal{E}中过任意两点a,b的直线上的点的集合,映射为\mathcal{V}的子集\mathcal{L}_{ab}=\left\{\mathbf{c}|\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right),\alpha\in\mathbb{R}\}。事实上,易证这一子集是\mathcal{V}的子空间且维数是1。若有了此基础,就可进一步推演出\mathcal{E}的维数就是\mathcal{V}的维数,从头到尾无需说明\Phi_a是双射。另外,这也同时证明了另一个重要的结果,就是把\mathcal{E}中的直线与实数轴建立了对应,为建立笛卡尔坐标系奠定了基础。可惜,在上面我们只能得到必要非充份条件的关系,所以我们就无法拥有后面的这些优美叙述。

如果我们反过来,从\mathcal{V}出发去找\mathcal{E}中的直线,就免不了“给定任一\mathbb{u}\in\mathcal{V},找出其在\mathcal{E}中对应的有向线段”的任务,这要求映射\Phi_a是可逆的,即为双射。虽然我看不到\Phi_a有什么理由不能是一个双射,但毕竟这是一项重大的“从\mathcal{V}\mathcal{E}的反向规定”动作,这比前面的“长度”和“角度”的反向规定影响大多了,是全局性地规定了\mathcal{E}这整个空间。如此一来,\mathcal{E}不仅带着其原有的《几何原本》所有推论,又突然于一个向量空间等距同构。凭什么向量空间——一个意图完全与几何无关的数学概念——恰好重现了《几何原本》的欧几里德空间的一切性质呢?我找不到在这个层面上有什么万佛朝宗式的解释。如果没有这种解释,那么就只能认为,这一双射只是重新定义了一个空间\mathcal{E},其几何性质只由定义它的那个内积空间\mathcal{V}来规定——这也是现代几何对“欧几里德空间”的定义,即完全抛弃了《几何原本》。既然如此,这一现代定义的“欧几里德空间”中,是否要用向量代数重新证明一切数学史上从《几何原本》证明过的几何定理?这个任务是一个庞大的任务,还是只需重现出欧几理德几何的有限几条公设即可?这个任务是否已经被完成了?尽管如此,我们难道真的不能relax掉“双射”这一规定性吗?


  1. ​*​
    例如,直角在《几何原本》里(定义10)就不是通过角度定义的。一个普通角的大小,又可以按照其正切的定义,从其所在的某直角三角形中对边长度与邻边长度之比来定义,从而回归到已解决了的线段长度大小的问题。

  1. Audin M (2002) Geometry. Springer
  2. Berger M (1987) Geometry I. Springer