欧几里德空间的现代引入中的一个问题

\mathcal{E}是一个非空集合，里面的元素称为“点”。对于集合中的这些点，我们可以做《几何原本》说能做的所有事，从而得到一切《几何原本》能得到的结论。其中就包括允许我们谈及“由点a到点b的有向线段”，a,b\in\mathcal{E}。我们建立一个“从点a到点b的有向线段”到一个向量空间\mathcal{V}的映射\Phi:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}，且\Phi\left(x,x\right)\equiv\mathbf{0}\forall x\in\mathcal{E}，其中\mathbf{0}是\mathcal{V}的零向量。选定一个点o\in\mathcal{E}，又可记\Phi_o:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}，\Phi_o\left(x\right)\equiv\Phi\left(o,x\right)。在很多书中​(Berger 1987; Audin 2002)​，直接预先把\Phi_o规定为双射。但我在这里想先不作此规定。最多，由于我们希望\mathcal{E}中的每个原素都能在给定原点的前提下在\mathcal{V}中找到唯一对应（反之并不必亦然），从而规定\Phi_o为单射非满射。

我不确定离开某数集，光靠欧几里德几何的公设体系能否独立定义“线段的长度”、“两线段长度相等”、“一条线段的长度大于另一条线段的长度”。我似懂非懂地看了一下Wikipedia，兴许Tarski的公设体系实现了这件事。但不管如何，我们在“长度”问题上的重新定义，应该不会造成整个欧几里德几何的重新定义，因为“相等”、“大小”之类的逻辑，在数集里跟在欧几里德几何里是相同的。所以下一步我们定义，\mathcal{E}中有向线段（记为\overline{xy},x,y\in\mathcal{E}）的长度就是所对应的\mathcal{V}中向量的范：

    \[d:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R},\overline{ab}\equiv d\left(a,b\right)\equiv\left\|\Phi\left(a,b\right)\right\|\]

其中\left\|\mathbf{u}\right\|\equiv\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\mathbf{u}\in\mathcal{V}。

同样的道理，如果能认为欧几里德几何原本的“角度大小”以及其于这个概念的成立而证得的一切推论也是通过“相等”、“大小”等逻辑独立于数集而被规定的​*​，那么采用实数集来重新规定就不会改变原有逻辑基础，从而原有的几何推论也都成立（可用）。现在我们通过施瓦茨不等式来定义\mathcal{V}由三个不同的点所构成的角的度数。

在\mathcal{V}中，由内积运算的性质，有如下关系：

(1)   \begin{equation*}\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|+2\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\end{equation*}

由施瓦茨不等式

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\geq\left|\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\right|^2\\\Leftrightarrow&-1\leq\frac{\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)}{\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|}\leq1\end{align*}

由于\cos:\left[0,\pi\right]\rightarrow\left[-1,1\right]是双射，故可定义“两向量的夹角”：

    \[\theta:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\left[0,\pi\right],\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)\equiv\mathrm{arccos}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\left\|\mathbf{u}\right\|\left\|\mathbf{v}\right\|}\]

式(1)变为：

(2)   \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\\=&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\end{align*}

由内积定义可知\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=\theta\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V}。

在\mathcal{E}中，由余弦定理（《几何原本》命题12、13），

(3)   \begin{align*}&\overline{ox}^2+\overline{oy}^2=\overline{xy}^2+2\overline{ox}\times\overline{oy}\cos\angle xoy\nonumber\\\Leftrightarrow&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

其中\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}表示由点x、o、y构成的角。将式(2)代入式(3)得：

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\\=&\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

比较上式等号左右两边，可知以下两命题互为充要条件：

    \[\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)=\pm\Phi_x\left(y\right)\Leftrightarrow\cos\angle xoy=\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\]

我们不妨对映射\Phi增加规定：\Phi\left(o,y\right)-\Phi\left(o,x\right)=\Phi\left(x,y\right)=-\Phi\left(y,x\right),\forall o,x,y\in\mathcal{E}，则由上述等价关系我们同时获得了\mathcal{E}中的角\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}的大小与实数域\left[0,\pi\right]的映射：\measuredangle:\mathcal{E}^3\rightarrow\left[0,\pi\right],\measuredangle\left(xoy\right)\equiv\measuredangle xoy\equiv\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)。

至此，我做的事情是是：1）规定了\mathcal{E}中的有向线段与\mathcal{V}中的向量的映射（未规定是什么射）；2）利用\mathcal{V}的内积定义，规定了\mathcal{E}中线段的长度和角的大小与实数集的映射。在做这些规定的时候，我利用了已知的欧几里德几何推论（余弦定理）。这一规定性自然而然带来一些需要重新证明的命题。例如，原几何规定（Tarski）的“两线段相等”，则它们所对应的实数值相等；原几何定义的直角，在现有的规定里对应实数\pi/2等等。这里我未能完备地列出上述重新规定所引起的这类重新证明任务，但我相信这些命题是有限的，易证的。这为我们建立\mathcal{E}与\mathcal{V}的维数对应性打下了部分基础，即\mathcal{E}的“直角”与\mathcal{V}的“正交向量”对应上了。

尚缺少的概念对应是“过一点的直线”。也正是在这个问题里，我发现\Phi_o不得不如现有的书中那般进一步规定为双射。先看一个出发点比较好，但失败的例子——从\mathcal{E}的已知概念出发，通过已规定的（未必双射的）映射\Phi_o来找到\mathcal{V}中的对应。

由欧几里德几何易知，过点a、b的直线上的任一点c，a,b,c\in\mathcal{E},a\neq b，必满足以下四种情况之一：1）\measuredangle cab=0；2）\measuredangle cab=\pi；3）c=a；4）c=b。根据前文的规定，又有\overline{ac}=\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|、\overline{ab}=\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|。对于情况1）和2），由

    \[\cos\measuredangle cab =\frac{ \Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}=\pm 1\]

左右两边同除\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|有

    \[\frac{\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}=\pm\frac{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|}{\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}\equiv\alpha^\prime\]

其中情况1）取正号，情况2）取负号。另外，显然情况3）和4）\alpha^\prime等于0或无穷。我们可以重新整理四种情况，写成

    \begin{align*}&\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)=\alpha\left(\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)\right),\alpha\in\mathbb{R}\\\Leftarrow&\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right)\end{align*}

上式中，前者仅是后者的必要非充份条件。如果这一步是充要条件，从而得到最后的结论，那么我们无需规定\Phi_a是双射，就能把\mathcal{E}中过任意两点a,b的直线上的点的集合，映射为\mathcal{V}的子集\mathcal{L}_{ab}=\left\{\mathbf{c}|\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right),\alpha\in\mathbb{R}\}。事实上，易证这一子集是\mathcal{V}的子空间且维数是1。若有了此基础，就可进一步推演出\mathcal{E}的维数就是\mathcal{V}的维数，从头到尾无需说明\Phi_a是双射。另外，这也同时证明了另一个重要的结果，就是把\mathcal{E}中的直线与实数轴建立了对应，为建立笛卡尔坐标系奠定了基础。可惜，在上面我们只能得到必要非充份条件的关系，所以我们就无法拥有后面的这些优美叙述。

如果我们反过来，从\mathcal{V}出发去找\mathcal{E}中的直线，就免不了“给定任一\mathbb{u}\in\mathcal{V}，找出其在\mathcal{E}中对应的有向线段”的任务，这要求映射\Phi_a是可逆的，即为双射。虽然我看不到\Phi_a有什么理由不能是一个双射，但毕竟这是一项重大的“从\mathcal{V}到\mathcal{E}的反向规定”动作，这比前面的“长度”和“角度”的反向规定影响大多了，是全局性地规定了\mathcal{E}这整个空间。如此一来，\mathcal{E}不仅带着其原有的《几何原本》所有推论，又突然于一个向量空间等距同构。凭什么向量空间——一个意图完全与几何无关的数学概念——恰好重现了《几何原本》的欧几里德空间的一切性质呢？我找不到在这个层面上有什么万佛朝宗式的解释。如果没有这种解释，那么就只能认为，这一双射只是重新定义了一个空间\mathcal{E}，其几何性质只由定义它的那个内积空间\mathcal{V}来规定——这也是现代几何对“欧几里德空间”的定义，即完全抛弃了《几何原本》。既然如此，这一现代定义的“欧几里德空间”中，是否要用向量代数重新证明一切数学史上从《几何原本》证明过的几何定理？这个任务是一个庞大的任务，还是只需重现出欧几理德几何的有限几条公设即可？这个任务是否已经被完成了？尽管如此，我们难道真的不能relax掉“双射”这一规定性吗？

  1. ​*​
    例如，直角在《几何原本》里（定义10）就不是通过角度定义的。一个普通角的大小，又可以按照其正切的定义，从其所在的某直角三角形中对边长度与邻边长度之比来定义，从而回归到已解决了的线段长度大小的问题。

  1. Audin M (2002) Geometry. Springer
  2. Berger M (1987) Geometry I. Springer

到底要资助什么“重大科研仪器”的研制？

其中一种指南中的表述：

科学仪器设备是科学研究和技术创新的基石，是经济社会发展和国防安全的重要保障。长期以来，我国科学仪器严重依赖进口，已成为我国自主创新能力提升、创新型国家和小康社会建设的制约因素。

http://www.dicp.cas.cn/xwdt/zhxws/2017/201812/t20181202_5203897.html

从这段表述中，我们首先看到的关键短语就是“严重依赖进口”。这一短语本身就限定了我们讨论的范围是“已有商用形态的、但国产空白的仪器”。我觉得导向是比较清晰的。“从无到有的原创仪器形态研究”应该不是重点资助对象。已有商用形态的仪器的需要满足哪些指标参数也是已经比较固定的。所以这一背景下的资助项目，结题重点理应就是看产品是否完成全国产化（小到每个螺丝钉都是国内厂家生产的），或者规定的“国产化程度”（需先定义），以及产品的指标是否达到或超过国外代表性品牌产品。如果不是在仪器设计和实现方案有革命性的创新，那么无非还是采用国外已有产品的设计方案，采用满足这些方案需要的关键零部件。所以一台仪器的国产化无非是仪器各零部件的国产化和组装的国产化。不管是哪类仪器，这都是涉及广泛领域的制造水平的问题。集中由一个项目，由几个单位在有限年限中去组织“攻关”，是无法解决国家工业体系短板问题的。而且国外商用仪器的垄断还有市场因素，受国际贸易政策的限制。

另一种指南中的表述：

面向科学前沿和国家需求，以科学目标为导向，资助对促进科学发展、探索自然规律和开拓研究领域具有重要作用的原创性科研仪器与核心部件的研制，以提升我国的原始创新能力。

http://www.nsfc.gov.cn/nsfc/cen/xmzn/2019xmzn/14/index.html

根据这一表述，申请者首先要论证自己所提出的申请（某仪器或某部件）是“对促进科学发展、探索自然规律和开拓研究领域具有重要作用的原创新科研仪器与核心部件”。我们发现，这一表述特别强调“以科学目标为导向”、“开拓研究领域”。也就是说，这一项目并不关注所研制的仪器是否已有商用形态，更不关心是否“国产化”；它关心的是一对因果：既要看到某仪器，又要看到因为这个仪器的出现所造就的“科学目标的实现”、或者“新得研究领域得到开拓”。如何判断“科学目标是否实现”，尚且能有通行的标准，在项目实施年限结束即可当场判断；至于是否开拓了一个新的研究领域，则难以有判断标准。多大体量的研究，能成其为一个“新领域”？这本身就是科学计量学的研究课题，尚无通行标准。因此，可以预计，这一项目所收到的申请，多为先提出一个“科学问题”，论证解决这一“科学问题”的症结在于缺少相关仪器，然后又要提出一个仪器方案，并论证这一仪器方案本身的可行性，以及该仪器用于解决所提出的科学问题的可行性。至于项目的创新性，可能源自科学问题本身的创新性（从而仪器也就不可能不新），也可能是“老问题、新仪器”。所以，这种项目框架其实于普通的针对学科问题研究项目无异。也许项目结题要同时满足科学问题的解决和仪器的研制。然而，但凡是实验科学研究，创新本来就普遍来自于特定仪器的自行搭建。就算科学问题本身确属于“重大的”，也早有各学科的“重大”科研项目。仅因为有“仪器”的特色，而另设仍以“科学问题”为导向的重大仪器项目，难以说得通。

其实种种这类仪器项目，都是典型的“明明只是国家的一个部门，却妄图解决需要多部门联合才能解决得了的问题”所提出的项目。乍一看，觉得这个部门组织立项对准了国家的痛处，其实就是部级向更高层次邀功搞的政绩工程。看到国家层面有这个紧迫需求，就从本部门的范围内单独整理出一个新的项目指南来邀功。指南说得又大又好，但实际实施就主要通过该部门辖下的全国各单位搜罗典型，尤其是活动能力和资源丰富的相关学科的院士及其团队，商议出几个有望孵化成各方面都比较漂亮的结果的代表性的大项目。剩下的一些钱撒给其他自由申请人，并保证这部分别出什么乱子（例如造假腐败之类）就行了。

贸易战升级后，我国的劣势是什么，造成这些劣势的原因又是什么？是因为以前没有这种项目吗？是因为早有嗷嗷待哺的婴儿，就缺奶吗？

关于导师对研究生毕业的“刁难”

知乎问题：https://www.zhihu.com/question/393763985

很多高赞回答本身充满了三观不正，都是些当代恶臭大学生自以为是的“公正”，要么就是缺乏社会常识，幼稚不堪。发布的言论，除了有网暴层面的杀伤力之外没有意义。但是我懒得在这一个具体事件下的回答里批判他们了。如果原本不言而喻的正确观念，仅因众多高赞回答的扰乱，我就又要重复一遍，那我岂不是很没空？

我就尝试指出一下现存制度中给维权带来困难的漏洞，并提个空泛的建议：建议研究生培养的“毕业条件的满足”阶段也引入同行评议机制。

回顾目前研究生培养制度中关于研究生毕业和学位授予的规定可以发现，导师能够实质性“刁难”学生的阶段主要是“毕业条件满足”的认定。目前研究生毕业条件大致就那几个：

首先是该修的学分都修齐了。研究生学分问题是教务处和研究生院管的，这一块导师管不着，都在研究生系统里。学分够了就是够了。

其次，就是小学术成果。例如毕业要求发表小论文、专利等的。这个条件的满足需要依赖导师配合。因为毕业条件要求的论文或者其他学术成果形式的署名必须要有导师的名字。如果你导师不让发的论文你自己联系发了，擅自署了你导师名字，那是你学术不端。你导师第一时间就要去要求撤回不然还跟你撇不清了。至于导师自己的课题组私自提高毕业条件的，例如明明学院要求发一篇中文核心就够了，你导师要求两篇IF>3的SCI，或者甚至没有明言的规定全凭导师当时决定的，这是没有制度保障的。这种情况只要你审诉，你在这一块已达到规定的毕业条件是很容易明确的。所以主要刁难在于达到学校或学院毕业条件的那一篇东西都不让你投稿的情况。

最后就是毕业设计（论文）。你要是自己弄了一本，想要开始走送审流程，也需要导师签字同意送审。这一条不合理，因为导师是不在毕业设计（论文）上署名的，这本东西就是真正的完全你自己写的。是你的学术水平的代表，不是你导师的。理论上如果毕业设计（论文）出现不端，是作者本人需要承担后果，它导师是否承担，只能依据由此继续调查他本人是否参与学术不端的进一步证据，不能光由毕业设计（论文）本身定导师的罪。所以导师签的送不送审这个字，意义很不明确。但不管什么意义，任何学术评定的公正都是由同行评议保证的（或者说在这个不完美的世界中，学术评定的公正是由同行评议所实际定义的）。

从送审开始之后的毕业流程，都有同行评议的形式了，你导师在制度上就结束了对你的专制。所以说，能形成实质性“刁难”的主要在于上述的后两个缺乏同行评议过程的毕业条件的认定。本来学术圈内任何学术评定都不基于任何一个学者本人的学术品味和倾向，而是通过组织同行评议来完成。学生是否能毕业在学术上的（即除了他政治、考勤和其他可量化指标之外的）评定也需要同行评议，这从形式上能使“因毕业条件的不满足而延期申请毕业”这件事不单独由导师拍板。

例如，小论文是否适合发表，由于要求导师署名，必须由包括导师在内的所有署名者一致同意。但如果因为没有发表小论文而不满足毕业设计（论文）的送审条件，则应该经过一个同行评议流程来否决送审，或者甚至重新讨论设置“发表小论文”这个条件的初衷，想出一套既保持普通情况必须发表小论文毕业的规定；同时允许没发表小论文也能毕业的，能够服众的、极端特殊的情况。

所谓“刁难”、“个人口味”、“德不配位”，全是扯皮概念，靠讲这些来维权是没有杀伤力的。解决纠纷的制度从来不进入到这些扯皮层面。像“学术标准”这种事情，制度上根本不管具体学术内容。成立个委员会，成员遴选公示、一切书面记录可查，最终决定你毕不了业你就得认。或者说，如果你认为不让你毕业就是一种压迫，那你至少可以要求这种压迫不来自某个人的权威，而是来自代表你所在的领域的集体专业意见的若干个人的权威，然后就截止了，不没完没了跟你扯下去。这既是保护学生也是保护导师，用现在流行的句式就是使双方都能“享有xxx的自由，同时免于XX的权利”。我们当然要坚持“学术权威”不能由“行政权威”逾越，更不能由民粹践踏。问题的关键在于“学术权威”的代表应该是学术委员会制度，而不是某个学者的个人学术自由。这是包括导师和研究生在内的任何一个学者，在享受其个人的学术自由（或有些人所说的所谓“个人口味”）的同时，不损害其他学者的学术自由的一种制度。它专门设置在这种人与人自由的边界上。

无奈我国的教育是巨婴教育。一来从制度上剥夺一个成年人自决的权利，二来也培养出没有自决的能力的成年人（即巨婴）。正是因为缺乏“个人自决”这一条认识，很多人对“自由”是天然曲解的。